ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39. Поверхности цилиндрические, конические и вращения 313
и подставив его в первое, найд¨ем
4x
2
(y/b + z/c)
2
+
4a
2
b
2y
y/b + z/c
−b
= 0.
Отсюда после упрощения получим
x
2
a
2
+
1
b
2
y −
zb
c
y +
zb
c
= 0,
и, следовательно, уравнение конуса имеет вид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0. (39.46)
Сравнением (39.44), (39.45) и (39.46) убеждаемся, что все три направляющие
порождают один и тот же конус. Данное утверждение легко объясняется тем,
что заданные направляющие являются различными коническими сечениями
плоскостями z = c, y = b и y/b + z/c = 2, соответственно (см. рис. 185). Ниже
мы обсудим свойства конических сечений более подробно.
Пример 39.13. Составить уравнение кругового конуса, для кот орого оси ко-
ординат являются его образующими.
Решение. Рассмотрим линию пересечения сферы
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
(39.47)
и плоскости
x + y + z = R. (39.48)
Этой линией яв ляется окружность, пересекающая координатные оси в точках
A(R, 0, 0), B(0, R, 0) и C(0, 0, R) (рис. 182). Чтобы определить ее центр, найд¨ем
проекцию O
′
(x
′
, y
′
, z
′
) точки O(0, 0, 0) на плоскость (39.48). Вектор нормали к
этой плоскости
~
N = (1, 1, 1) выберем в качестве направляющего вектора для
перпендикуляра на эту плоскость из точки O(0, 0, 0). Параметрические уравне-
ния его в таком случае имеют вид
x = t, y = t, z = t. (39.49)
Подставив (39.49) в (39.4 8), получим значение t = R/3, соответствующее пересе-
чению перпендикуляра (39.49) с плоскост ью (3 9.48). В свою очередь, подставив
t = R/3 в (3 9.49), найд¨ем координаты точки пересечения (39.49 ) и (39.48), т.е.
точки O
′
(R/3, R/3, R/3 ). Точка O
′
равноудалена от точек A, B, C, лежащих на
окружности и, следовательно, является ее центром. Радиус этой окружности r
можно найти, например, как
r = |O
′
A| =
r
R −
R
3
2
+
R
2
9
+
R
2
9
= R
r
2
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 311
- 312
- 313
- 314
- 315
- …
- следующая ›
- последняя »
