Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 316 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

316 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
пересечения конуса и плоскости (39.54) будет эллипс (или его частный случай —
окружность). Чтобы определить его характеристики, найд¨ем проекцию O
′
точ-
ки O на плоскость (39.54). Как следует из рис. 184,б, точка O
′
имеет координаты
O
′
(0, h, h) и, следовательно, является центром эллипса. Полуоси эллипса мож-
но определить, вычислив длину отрезков O
′
A
′
и O
′
B
′
. Поскольку в декартовой
системе координаты точек A
′
(−h, 0, h), B
′
(0, 2h, 0), то
|O
′
A
′
| =
√
h
2
+ h
2
= h
√
2,
|O
′
B
′
| =
√
h
2
+ h
2
= h
√
2.
В силу равенств |O
′
A
′
| = |O
′
B
′
| = h
√
2 заключаем, что линией пересечения
конуса и плоскости (39.54) является окружность радиуса
√
2h с центром в точке
O
′
, что характеризует положение конуса в декартовой системе координат xOy
(рис. 184,б).
♦ Этот же конус можно получить вращением координатных осей Ox и Oy
вокруг оси вращения OO
′
.
39.4. Конические сечения
Выше мы показали, что геометрические определения эллипса, параболы, гипер-
болы приводят к каноническим уравнениям и аналитическим выражениям для со-
ответствующих кривых второго порядка. Геометрические и аналитические подходы
не являются единственно возможными к определению этих плоских кривых. Эллипс,
гипербола и парабола в виде конических сечений (коник) были известны еще матема-
тикам античности. Еще в 4 веке до н.э. древнегреческий математик М енехм исполь-
зовал их для решения задачи об удвоении (объ¨ема) куба, что на современном матема-
тическом языке означает решение уравнения x
3
= 2V . Наиболее полным сочинением,
посвященным этому вопросу, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (2
век до н.э.), первые четыре книги которого сохранились в греческом подлиннике, сле-
дующие три в арабском переводе, а последняя, восьмая, у теряна.
Рис. 185.
В этом сочинении коническим сечением называется линия, которая получается в
результате пересечения прямого кругового конуса (получаемого вращением прямо-
угольного треугольника вокруг одного из катетов) плоскостью, не проходящей через
его вершину. Конические сечения разделяются на три класса (см. рис. 185):
a) эллипс — секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной
его полости. Окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая
плоскость перпендикулярна оси конуса;
б) парабола — секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей ко-
нуса;
в) гипербола — секущая плоскость пересекает обе полости конуса.
Заметим, что, в отличие от цилиндров, не бывает эллиптического, гиперболиче-
ского или параболического конусов, поскольку при сечении конуса различными плос-
костя ми можно получить все кривые второго порядка (см. пример 39.12).

Страницы