ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39. Поверхности цилиндрические, конические и вращения 317
В надлежащей системе координат с помощью параметров p и λ уравнения, опре-
деляющие конические сечения, единообразно можно записать в виде
y
2
= 2px + ηλ
2
x
2
⇒
λ = 0 — парабола;
η = −1 — эллипс;
η = +1 — гипербола.
(39.55)
Формула (39.55) отражает современный аналитический подход к коническим се-
чениям, однако древнегреческие названия удивительно точно характеризуют свой-
ства кривых, описываемых этим уравнением. Действительно, в переводе с греческого
«парабола» означает приложение, «эллипс» — недостаток (в смысле приложение с
недостатком), а «гипербола» — избыток (в смысле приложение с избытком). Так как
в древнегреческой геометрии превращение квадрата y
2
в равновеликий ему прямо-
угольник с основанием 2p называлось «приложением квадрата к данному основанию»,
то это соответствие на современном языке записывается в виде y
2
= 2px, который
получается из (39.55) при λ = 0. Уравнение эллипса y
2
= 2px − λ
2
x
2
соответствует
«приложению с недостатком», а уравнение гиперболы y
2
= 2px+λ
2
x
2
— «приложению
с избытком».
Дальнейшие успехи теории конических сечений связаны с созданием новых гео-
метрических методов, в особенности с введением прямоугольной системы координат
(Р. Декарт). Новые методы позволили стереометрическое определение конических се-
чений заменить планиметрическим определением — как множества точек плоскости,
удовлетворяющих определ¨енным требованиям.
Мощным импульсом к развитию теории конических сечений и воо бще к созда-
нию теории кривых второго порядка послужили астрономические открытия законов
движения небесных тел. В планиметрических определениях конических сечений на
первое место выходят такие понятия, как фокус, директриса, эксцентриситет и др.
Как понятия они были известны еще древнегреческим математикам, однако их на-
звания имеют уже латинские корни. Так, введ¨енный И. Кеплером термин «фокус»
означает «огонь» или «очаг», им же введ¨енный термин «эксцентриситет» составлен
их двух слов: «ex» — вне и «центр». Термин «директриса», означающий «направляю-
щая», введ¨ен Лопиталем и т.д. И в настоящее время кривые второго порядка играют
важную роль в теории гравитации, баллистике, классической электродинамике и др.
Ниже мы докажем теорему о конических сечениях, используя стереометрический
метод (Данделен), позволяющий достаточно просто перейти к их планиметрическим
определениям.
Следующая теорема методами элементарной геометрии устанавливает связи меж-
ду коническими сечениями и такими кривыми, как парабола, эллипс и гипербола.
Теорема 39.1. Сечение прямого кругового (бесконечного в обе стороны) конуса плос-
костью, не проходящей через вершину, является либо параболой, либо эллипсом, либо
гиперболой.
Рис. 186.
Доказательство. I. Пусть π — плоскость сечения конуса,
параллельная его образующей, а Ш — сфера (Данделена),
вписанная в этот конус и касающаяся плоскости сечения
π в точке F (рис. 186). Обозначим через C интересующее
нас сечение конуса плоскостью π, а через C
1
— окруж-
ность касания сферы и конуса, при этом π
1
— плоскость,
в которой расположена окружность C
1
. Пусть плоскости
π и π
1
пересекаются по прямой D (рис. 186). Далее, пусть
X — произвольная точка сечения C (параболы), точка Y
— ее проекция на прямую D, а точка X
1
— точка пересе-
чения прямой SX с окружностью C
1
. Отрезки XF и XX
1
двух касательных к сфере, провед¨енных из одной точки
x, равны:
|F X| = |XX
1
|. (39.56)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 315
- 316
- 317
- 318
- 319
- …
- следующая ›
- последняя »
