ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39. Поверхности цилиндрические, конические и вращения 319
♦ Прежде чем перейти к следующему типу секущих плоскостей, будет уместно и
полезно рассмотреть, как изменяется кривая, являющаяся сечением конуса секущей
плоскостью, при изменении положения последней и условии, что она по-прежнему
будет пересекать только одну полость конуса и не будет проходить через вершину S.
Выше мы ввели такую характеристику эллипса, как его
Рис. 188.
эксцентриситет, равный отношению
ε =
|F
1
F
2
|
|M
1
M
2
|
, (39.60)
где |F
1
F
2
| — межфокусное расстояние эллипса, а |M
1
M
2
| —
длина его фокальной оси.
Если теперь плоскость π сместить параллельно перво-
начальному положению, то из простейших геометрических
построений (рис. 188) следует, что эллипс, изменив свои аб-
солютные размеры, не изменит свой эксцентриситет ε. Это
говорит о том, что полученный эллипс подобен исходному.
Таким образом, сечениями конуса параллельными плоско-
стями будет множество подобных эллипсов с одинаковым эксцентриситетом.
Теперь рассмотрим сечения конуса не параллельными друг другу плоскостями
(рис. 189). Для этого зафиксируем точку M
2
, а точку M
1
будем перемещать по об-
разующей конуса, приближая е¨е к точке S или удаляя от нее. Из рис. 189,a видно,
что плоскость π, перпендикулярная оси конуса, да¨ет при пересечении с ним эллипс
с нулевым эксцентриситетом (ε = 0), т.е. окружность C. Относительно этого сечения
все эллипсы, получаемые при сечении конуса другими плоскостями, делятся на два
вида: с ограниченными и неограниченными фокальными осями. На рис. 189,a пока-
зано, что две плоскости π
′
и π
′′
, расположенные под одним углом β к плоскости π,
дают в сечении пару подобных эллипсов с равными эксцентриситетами 0 < ε < 1
(при повороте на 180
◦
плоскость π
′′
будет параллельна π
′
). С у величением угла на-
клона секущих плоскостей эксцентриситеты такой пары эллипсов тоже возрастают,
как показано на рис. 189,б, стремясь в пределе к единице. При этом «форма» одного
из эллипсов приближается к отрезку M
2
S, а «форма» другого — к параболе с фоку-
сом F , когда плоскость π
′′
становится параллельной образующей конуса. Дальнейшее
Рис. 189.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 317
- 318
- 319
- 320
- 321
- …
- следующая ›
- последняя »
