ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 321
Рассмотрим теперь сечения конуса плоскостями, не параллельными его оси (рис. 192).
Для этого на конусе с углом раствора α зафиксируем точку M
2
, а точку M
1
будем
перемещать по образующей конуса, приближая ее к вершине S или удаляя от нее.
Рис. 192.
Пусть π
′′
— секущая плоскость, проходящая через точ-
ку M
2
параллельно оси конуса. Выше мы отмечали, их пе-
ресечение да¨ет гиперболу с максимальным эксцентриситетом
ε = 1/ cos α. Любое изменение положения этой плоскости при-
водит к изменению сечения, а именно, к уменьшению эксцен-
триситета гипербол. Две плоскости, проходящие через точ-
ку M
2
симметрично под одним углом к плоскости π
′′
да-
ют пару подобных гипербол с равными эксцентриситетами
ε
1
< ε = 1/ cos α. С увеличением этого угла эксцентрисите-
ты таких пар продолжают уменьшаться, стремясь в пределе к
единице. При этом «форма» одной из гипербол приближается
к двух полупрямым, а «форма» другой — к параболе с фо-
кусом F , когда секущая плоскость становится параллельной
образующей конуса. При дальнейшем увеличении угла меж-
ду осью конуса и секущей плоскостью мы получим сначала
параболу (когда секущая плоскость параллельна образующей
конуса), а затем уже рассмотренные выше эллипсы. Таким об-
разом, утверждение теоремы доказано: любое сечение конуса
плоскостью, не проходящей через его вершину, есть либо эл-
липс, либо парабола, либо гипербола.
♦ Сечениями конуса плоскостями, проходящими через его вершину S, будут так
называемые распадающиеся кривые второго порядка: пара пересекающихся прямых,
пара совпадающих прямых либо точка.
40. Приведение уравнений поверхностей
второго порядка к каноническому виду
40.1. Матричная форма уравнений поверхностей второго порядка
и приведение их к каноническому виду
Согласно определению (31.4), уравнение поверхности второго порядка имеет
вид
F
2
(x, y, z) = a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ a
33
z
2
+ 2a
12
xy + 2a
13
xz + 2a
23
yz +
+2a
1
x + 2a
2
y + 2a
3
z + a
0
. (40.1)
В зависимости от задач, в которых используется поверхность (40.1), ее уравне-
ние удобно представлять в следующих матричных формах:
I. F
2
(x, y, z) = (
x y z
)
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
!
x
y
z
!
+ 2 (
a
1
a
2
a
3
)
x
y
z
!
+ a
0
= 0
или
F
2
(x, y, z) = X
⊺
GX + 2LX + a
0
= 0, (40.2)
где
X =
x
y
z
!
, G =
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
!
, L = (
a
1
a
2
a
3
) ; (40.3)
II. F
2
(x, y, z) = (
x y z 1
)
a
11
a
12
a
13
a
1
a
12
a
22
a
23
a
2
a
13
a
23
a
33
a
3
!
x
y
z
1
= Y
⊺
QY = 0, (40.4)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 319
- 320
- 321
- 322
- 323
- …
- следующая ›
- последняя »
