Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 322 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

322 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
где
Y =
x
y
z
1
, Q =
a
11
a
12
a
13
a
1
a
12
a
22
a
23
a
2
a
13
a
23
a
33
a
3
a
1
a
2
a
3
a
0
. (40.5)
Симметричная вещественная матрица Q называется матрицей алгебра-
ической поверхности 2-го порядка, симметричная вещественная матрица G —
матрицей ее квадратичной части (фо рмы), а матрица-строка L — матрицей
ее линейной части (формы).
Пример 40.1. Записать в матричной форме уравнение поверхности второго
порядка:
a)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1; б)
x
2
p
−
y
2
q
= 2z; в)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0;
г)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1; д) x
2
− y
2
= 0; е) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4 = 0.
Решение. Согласно определению (40.4), матричная форма исходных уравнений
имеет вид Y
⊺
QY = 0. По заданным уравнениям найд¨ем матрицы Q и G:
a) трехосный эллипсоид с центром симметрии в начале координат:
Q =
1/a
2
0 0 0
0 1/b
2
0 0
0 0 1/c
2
0
0 0 0 −1
, det Q = −
1
(abc)
2
6= 0,
G =
1/a
2
0 0
0 1/b
2
0
0 0 1/c
2
!
, det G =
1
(abc)
2
6= 0;
б) гиперболический параболоид, не имеющий центра симметрии:
Q =
1/p 0 0 0
0 −1/q 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0
, det Q =
1
pq
6= 0,
G =
1/p 0 0
0 −1/q 0
0 0 0
!
, det G = 0;
в) конус второго порядка с вершиной, т.е. центром, в начале координат:
Q =
1/a
2
0 0 0
0 1/b
2
0 0
0 0 −1/c
2
0
0 0 0 0
, det Q = 0,
G =
1/a
2
0 0
0 1/b
2
0
0 0 −1/c
2
!
, det G = −
1
(abc)
2
6= 0;
г) эллиптический цилиндр с осью симметрии z = 0:
Q =
1/a
2
0 0 0
0 1/b
2
0 0
0 0 0 0
0 0 0 −1
, det Q = 0, G =
1/a
2
0 0
0 1/b
2
0
0 0 0
!
, det G = 0;

Страницы