ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
324 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Теорема 40.1. Общее уравнение поверхности 2-го порядка (40.2), заданное
относительно некоторой системы координат (O, x, y, z) с помощью ортого-
нальных преобразований, состоящих из поворота системы координат
X =
x
y
z
!
= P X
′
= P
x
′
y
′
z
′
!
(40.7)
и ее параллельного переноса
X
′′
= X
′
+ X
′
0
, (40.8)
можно привести к одному из следующих п яти типов:
I. λ
1
(x
′′
)
2
+ λ
2
(y
′′
)
2
+ λ
3
(z
′′
)
2
+ a
′′
0
= 0, λ
1
λ
2
a
′
3
6= 0;
II. λ
1
(x
′′
)
2
+ λ
2
(y
′′
)
2
+ 2a
′
3
z
′′
= 0, λ
1
λ
2
λ
3
6= 0;
III. λ
1
(x
′′
)
2
+ λ
2
(y
′′
)
2
+ a
′′
0
= 0, λ
1
λ
2
6= 0;
IV. λ
1
(x
′′
)
2
+ 2a
′′
2
y
′′
= 0, λ
1
a
′′
2
6= 0;
V. λ
1
(x
′′
)
2
+ a
′′
0
= 0, λ
1
6= 0.
В преобразованиях (40.7), (40.8) матрица
P = (E
1
E
2
E
3
), E
i
=
m
i
n
i
p
i
!
, i = 1, 2, 3, (40.9)
состоит из собственных векторов E
i
матрицы G, соответствующих соб-
ственным значениям λ
1
, λ
2
, λ
3
, а
X
′
0
=
x
′
0
y
′
0
z
′
0
!
(40.10)
— вектор параллельного переноса.
Доказательство. Подставим (40.7) в исходное мат ричное уравнение (40.2):
(X
′
)
⊺
P
⊺
GP X
′
+ 2LP X
′
+ a
0
= 0. (40.11)
Согласно условиям теоремы, матрица (40.9) состоит из собственных векторов
матрицы G, кото рые находятся из уравнения
GE = λE. (40.12)
В силу вещественности и симметричности матрицы G е¨е собственные значе-
ния являются вещественными, а собственные векторы — также вещественными,
прич¨ем ортогональными. С уч¨етом это го, обозначив
LP = L
′
= (a
′
1
a
′
2
a
′
3
), (40.13)
можно записать уравнение (40.11):
λ
1
(x
′
)
2
+ λ
2
(y
′
)
2
+ λ
3
(z
′
)
2
+ 2a
′
1
x
′
+ 2a
′
2
y
′
+ 2a
′
3
z
′
+ a
0
= 0. (40.14)
Далее рассмотрим все возможные частные случаи уравнения (40.14).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 322
- 323
- 324
- 325
- 326
- …
- следующая ›
- последняя »
