ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
326 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
IV. Пусть λ
2
= λ
3
= 0, λ
1
6= 0 и хотя бы один из параметров a
′
2
и a
′
3
не равен
нулю. Тогда из (40.15) имеем
λ
1
x
′
+
a
′
1
λ
1
2
+ 2a
′
2
y
′
+ 2a
′
3
z
′
+
h
a
0
−
(a
′
1
)
2
λ
1
i
= 0.
С обозначением
a
′′
2
=
p
(a
′
2
)
2
+ (a
′
3
)
2
(40.24)
это уравнение преобразованием
X
′′
=
x
′′
y
′′
z
′′
!
=
x
′
+
a
′
1
λ
1
1
a
′′
2
h
a
′
2
y
′
+ a
′
3
z
′
+
1
2
a
0
−
(a
′
1
)
2
λ
1
i
1
a
′′
2
[−a
′
3
y
′
+ a
′
2
z
′
]
(40.25)
приводится к в иду
λ
1
(x
′′
)
2
+ 2a
′′
2
y
′′
= 0. (40.26)
Преобразование (40.25) гарантирует ортогональность матрицы перехода от (x, y, z)
к (x
′′
, y
′′
, z
′′
).
Если же a
′
2
= a
′
3
= 0, то мы сразу имеем уравнение IV типа.
V. При λ
2
= λ
3
= a
′
2
= a
′
3
= 0 и λ
1
6= 0 из (40.15) имеем
λ
1
x
′
+
a
′
1
λ
1
2
+
h
a
0
−
(a
′
1
)
2
λ
1
i
= 0.
Это уравнение с помощью параллельного переноса системы координат
X
′′
= X
′
+ X
′
0
,
где
X
′
0
=
a
′
1
/λ
1
0
0
!
, (40.27)
и с использованием обозначения
a
′′
0
= a
0
−
(a
′
1
)
2
λ
1
(40.28)
запишется в виде
λ
1
(x
′′
)
2
+ a
′′
0
= 0. (40.29)
Таким об ра зом, теорема доказана.
Опираясь на т олько что доказанную теорему 4 0.1, верн¨емся к теореме 33.1
и докажем е¨е в эквивалентной ф ормулировке.
Теорема 40.2. Общее уравнение поверхности 2-го порядка (40.1) определяет
одну из следующих 1 7 поверхностей:
1 Тип поверхности I
класс эллиптический
название эллипсоид
уравнение
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
инварианты ∆ = det Q = −
1
a
2
b
2
c
2
, δ = det G =
1
a
2
b
2
c
2
,
S = Sp G =
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
, T =
1
(ab)
2
+
1
(ac)
2
+
1
(bc)
2
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 324
- 325
- 326
- 327
- 328
- …
- следующая ›
- последняя »
