ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 323
д) уравнение можно представить в виде произведения x
2
−y
2
= (x −y)(x +
y) = 0, что соот ветствует двум пересекающимся плоскостям x−y = 0 и x+y = 0:
Q =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, det Q = 0, G =
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
!
, det G = 0;
е) уравнение x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4 = 0 не определяет ни одну точку трехмерного
пространства:
Q =
1/a
2
0 0 0
0 1/b
2
0 0
0 0 1/c
2
0
0 0 0 1
, det Q =
1
a
2
b
2
c
2
6= 0,
G =
1/a
2
0 0
0 1/b
2
0
0 0 1/c
2
!
, det G =
1
(abc)
2
6= 0.
Обобщая результаты исследований конкретных поверхностей 2- го порядка
и учитывая матричную запись (40.2), (40.4) общего уравнения, введ¨ем следую-
щую терминологию.
Поверхности, описываемые невырожденной матрицей Q (det Q 6= 0), назы-
ваются невырождающимися, а поверхности, описываемые вырожденной матри-
цей Q (det Q = 0), — вырождающимися.
♦ К вырождающимся относятся все конические и цилиндрические поверх-
ности.
Поверхности, описываемые невырожденной матрицей квадратичной фо р-
мы G (det G 6= 0), называются центральными — имеющими центр симметрии,
а поверхности, описываемые вырожденной матрицей G ( det G = 0), — нецен-
тральными, т.е. не имеющими определенного центра.
♦ К нецентральным относятся все поверхности, за исключением эллиптиче-
ских, гиперболических и конических.
♦ К вырождающимся нецентральным поверхностям (det Q = det G = 0) от-
носятся все цилиндрические и поверхности, уравнения которых можно записать
в виде F (x, y, z) = F
1
(x, y, z)F
2
(x, y, z) = 0, где F
i
(x, y, z) — линейные полиномы.
Последние поверхности называются распадающимися.
В дополнение к этому определим содержательные и ограниченные поверх-
ности.
Поверхность называется ограниченной, если существует сфера конечного
радиуса, целико м охватывающая точки поверхности; в противном случае по-
верхность называется неограниченной.
По верхность второго порядка (40.1), состоящую более чем из одной точки,
будем называть содержательной.
К содержательным ограниченным поверхностям относятся то лько эллипсо-
иды, поскольку их можно заключить в сферу конечного радиуса. Все остальные
содержательные поверхности имеют непустое пересечение с любой сферой, ра-
диус которой больше некоторого значения, и, следовательно, являются неогра-
ниченными.
Напомним, что линия пересечения содержательной поверхности 2- го поряд-
ка (40.1) с плоскостью
Ax + By + Cz + D = 0 (40.6)
является кривой второго порядка.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 321
- 322
- 323
- 324
- 325
- …
- следующая ›
- последняя »
