ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
320 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
увеличение угла γ приводит к тому, что секущая плоскость пересекает обе полости
конуса.
Рис. 190.
III. Пусть теперь π — плоскость сечения конуса, про-
ходящая через обе полости конуса, а Ш
1
и Ш
2
— сферы,
вписанные в разные полости этого конуса и касающие-
ся π с одной стороны в точках F
1
и F
2
соответственно
(рис. 190). Используя те же обозначения, что и в преды-
дущем случае, с помощью аналогичных рассуждений
приходим к равенствам (39.58). Из простейших геомет-
рических построений на рис. 190 следует, что в данном
случае постоянной величиной будет их разность:
|XF
1
| − |XF
2
| = const . (39.61)
Таким образом, пересечением плоскости π и конуса яв-
ляется кривая, обладающая тем свойством, что раз-
ность расстояний от любой е¨е точки X до двух точек
F
1
и F
2
остается постоянной. Эта плоская кривая назы-
вается гиперболой с фокусами F
1
и F
2
. Кроме того, как
следует из рис. 190, плоскость π, пересекаясь с плоско-
стями π
1
и π
2
, образует две прямые D
1
и D
2
, называ-
емые директрисами. Эти прямые лежат вне конуса, но
в одной плоскости с гиперболой и, таким образом, мо-
гут быть также использованы для планиметрического
определения эллипса.
♦ Рассмотрим теперь возможные изменения поло-
жения секущей плоскости и вытекающие из них изме-
нения сечений. Здесь имеется некоторое сходство с предыдущим случаем, но имеют-
ся и различия, обусловленные наличием у гиперболы асимптотических направлений.
Действительно, любая секущая плоскость, перпендикулярная оси конуса, да¨ет в сече-
нии эллипс с нулевым эксцентриситетом ε = 0, т.е. окружность, прич¨ем независимо
от угла между осью и образующей конуса (у эллипса асимптотические направления
отсутствуют). Среди плоскостей, пересекающих обе полости конуса, следует особо от-
метить плоскости, параллельные его оси. В этом случае все сечения конуса будут по-
добными гиперболами с одинаковыми эксцентриситетами. Значение эксцентриситета
максимально для данного конуса, определяется углом α между его осью и образую-
щей и равно
ε =
1
cos α
> 1. (39.62)
Согласно (39.62), для малых углов, т.е. при α → 0, ε → 1 и для углов, близких к π/2,
т.е. при α → π/2, ε → ∞ (рис. 191).
Рис. 191.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 318
- 319
- 320
- 321
- 322
- …
- следующая ›
- последняя »
