ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
318 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Вообще говоря, равенство (39.56) можно рассматривать в качестве стереометрическо-
го определения параболы как линии пересечения двух пространственных поверхно-
стей. Однако от стереометрической формулировки можно перейти к планиметриче-
ской, если отрезок XX
1
заменить другим, равным ему, но лежащим в одной плоско-
сти с отрезком XF . Покажем, что таким отрезком является отрезок XY , лежащий в
плоскости π перпендикулярно к прямой D (директрисе). Действительно, катет SX
1
,
а следовательно, и XX
1
как его продолжение образуют с плоскостью π
1
угол π/2 −α,
где α — угол между образующей конуса и его осью. В свою очередь, отрезок XY
параллелен той единственной образующей конуса, которой параллельна плоскость π.
Но эта образующая составляет с плоскостью π
1
тоже угол π/2 − α. Отсюда следует,
что отрезки XY и XX
1
равны:
|XY | = |XX
1
| (39.57)
как отрезки, провед¨енные из одной точки X под одним углом к одной и той же плос-
кости π
1
.
Таким образом, в плоскости π мы построили кривую, обладающую тем свойством,
что расстояние от любой ее точки X до точки F и до прямой D равны. Это явля-
ется определением плоской кривой, называемой параболой, а F и D — ее фокус и
директриса.
II. Пусть π — плоскость сечения конуса, проходящая только через одну полость
конуса, а Ш
1
и Ш
2
— сферы, вписанные в этот конус и касающиеся с разных сторон
плоскости π в точках F
1
и F
2
соответственно (рис. 187). Обозначим через π
1
и π
2
плоскости, в которых лежат окружности C
1
и C
2
касания сфер Ш
1
и Ш
2
с конусом, а
через C — интересующее нас сечение плоскости π с конусом. Пусть X — произвольная
точка сечения C, а точки X
1
и X
2
— точки пересечения прямой SX с окружностями
C
1
и C
2
соответственно.
Рис. 187.
Поскольку отрезки касательных, провед¨енных к шару из одной точки, равны, то
|XF
1
| = |XX
1
|, |XF
2
| = |XX
2
|. (39.58)
Но отрезок X
1
X
2
= XX
1
+ XX
2
является образующей усеченного конуса, и его длина
не меняется при движении точки X по кривой C. С уч¨етом этого из (39.58) следует
|XF
1
| + |XF
2
| = const . (39.59)
Таким образом, кривая пересечения конуса и плоскости π обладает тем свойством,
что сумма расстояний от любой ее точки X до двух точек F
1
и F
2
остается посто-
янной, т.е. плоская кривая C является эллипсом с фокусами F
1
и F
2
и фокальной
осью M
1
M
2
= X
1
X
2
. Кроме того, как следует из рис. 187, плоскость π, пересекаясь с
плоскостями π
1
и π
2
, образует две прямые D
1
и D
2
, называемые директрисами. Эти
прямые лежат в одной плоскости с эллипсом и могут быть также использованы в
качестве планиметрического определения эллипса.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 316
- 317
- 318
- 319
- 320
- …
- следующая ›
- последняя »
