Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 393 стр.

UptoLike

Индивидуальные задания 393
Вариант № 24
24.1. Дан параллелограмм CBDA, в котором
CA = ~a,
CB =
~
b. Точка M
1
делит
диагональ
CD в отношении λ
1
= 0,6, а точка M
1
делит диагональ
AB в отношении
λ
2
= 1,2. Выразить векторы
BM
1
,
AM
1
,
DM
2
,
CM
2
,
M
1
M
2
через векторы ~a и
~
b.
24.2. Решить задачу 24.1, вычислив координаты точек M
1
и M
2
, если точки A, B, C
имеют координаты A(2, 7), B(1, 5), C(3, 6).
24.3. Дан треугольник ABC, построенный на векторах
CA = ~a
~
b,
CB = 4~a +
~
b,
где |~a| = 2, |
~
b| = 7, (
b
~a
~
b) = π/4. Методами векторной алгебры найти:
a) длины сторон CA, AB и угол между ними;
б) площадь треугольника ABC;
в) вектор-высоту
~
h, опущенную из точки B, и е¨е длину;
г) вектор-медиану ~m, провед¨енную из угла C, и е¨е длину;
д) вектор-биссектрису ~n угла C и е¨е длину.
24.4. Решить задачу 24.3 при условии, что треугольник ABC задан своими вер-
шинами A(2, 7, 3), B(1, 5, 7), C(3, 6, 3).
24.5. Доказать, что векторы ~a = (1, 1, 1),
~
b = (2, 1, 1), ~c = (0, 3, 2) образуют
базис. Найти разложение вектора ~r = (1, 4, 4) в этом базисе.
24.6. Решить векторное уравнение
3~x + ~a ×~x =
~
b,
выбрав векторы ~a и
~
b из условия задачи 24.5.
24.7. Решить систему векторных уравнений
~a ×~x =
~
b,
~c ·~x = 3,
выбрав векторы ~a,
~
b и ~c из условия задачи 24.5.
24.8. Дана пирамида DABC. Ребра пирамиды, выходящие из вершины D, равны:
DA = 2, DB = 4, DC = 3, а углы между ними, соответственно, ADB = 2π/3,
BDC = π/3, CDA = π/2. Методами векторной алгебры найти:
a) длину ребра AB и угол ABC;
б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;
в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC, и кратчайшее расстояние
между р¨ебрами DA и BC;
г) объ¨ем пирамиды.
24.9. Решить задачу 24.8 при условии, что вершина D пирамиды зада¨ется коорди-
натами D(4, 8, 12), а треугольником е¨е основания является треугольник ABC из
задачи 24.4.
24.10. Для треугольника ABC из задачи 24.2 найти:
a) каноническое уравнение прямой CA, параметрическое уравнение прямой CD и век-
торное уравнение прямой AB; одно из полученных уравнений представить урав-
нением прямой в отрезках, другое в нормальной форме и третье уравнением
прямой с угловым коэффициентом, построить эти прямые;
б) угол между прямыми CB и CA;
в) точку пересечения медиан треугольника;
г) уравнения биссектрис смежных углов, образованных пересечением прямых CB и
CA;
д) расстояние от точки A до медианы треугольника, провед¨енной из угла C;
е) уравнения прямых, проходящих через точку A, одна из которых параллельна, а
другая перпендикулярна стороне CB;
ж) точку пересечения последней прямой с прямой CB.
24.11. Для пирамиды из задачи 24.9 найти: