ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Индивидуальные задания 395
Вариант № 25
25.1. Дан параллелограмм CBDA, в котором
−→
CA = ~a,
−−→
CB =
~
b. Точка M
1
делит
диагональ
−−→
CD в отношении λ
1
= −1,2, а точка M
2
делит диагональ
−−→
AB в отношении
λ
2
= 0,6. Выразить векторы
−−→
BM
1
,
−−→
AM
1
,
−−→
DM
2
,
−−→
CM
2
,
−−−−→
M
1
M
2
через векторы ~a и
~
b.
25.2. Решить задачу 25.1, вычислив координаты точек M
1
и M
2
, если точки A, B, C
имеют координаты A(3, 1), B(−2, −1), C(0, 3).
25.3. Дан треугольник ABC, построенный на векторах
−→
CA = ~a −3
~
b,
−−→
CB = 7~a +
~
b,
где |~a| = 1, |
~
b| = 3, (
b
~a
~
b) = 3π/4. Методами векторной алгебры найти:
a) длины сторон CA, AB и угол между ними;
б) площадь треугольника ABC;
в) вектор-высоту
~
h, опущенную из точки B, и е¨е длину;
г) вектор-медиану ~m, провед¨енную из угла C, и е¨е длину;
д) вектор-биссектрису ~n угла C и е¨е длину.
25.4. Решить задачу 25.3 при условии, что треугольник ABC задан своими вер-
шинами A(3, 1, −4), B(−2, −1, −1), C(0, 3, 2).
25.5. Доказать, что векторы ~a = (4, 0, 1),
~
b = (0, −2, 1), ~c = (3, 1, −1) образуют
базис. Найти разложение вектора ~r = (0, − 8, 9) в этом базисе.
25.6. Решить векторное уравнение
−2~x + ~a ×~x =
~
b,
выбрав векторы ~a и
~
b из условия задачи 25.5.
25.7. Решить систему векторных уравнений
~a ×~x =
~
b,
~c ·~x = −2,
выбрав векторы ~a,~c из условия задачи 25.5 и
~
b = (0, −2, 0).
25.8. Дана пирамида DABC. Ребра пирамиды, выходящие из вершины D, равны:
DA = 3, DB = 6, DC = 4, а углы между ними, соответственно, ∠ADB = π/6,
∠BDC = π/4, ∠CDA = π/3. Методами векторной алгебры найти:
a) длину ребра AB и угол ∠ABC;
б) двугранный угол при ребре DA и угол между ребром DA и гранью DBC;
в) длину высоты, опущенной из точки A на грань DBC, и кратчайшее расстояние
между р¨ебрами DA и BC;
г) объ¨ем пирамиды.
25.9. Решить задачу 25.8 при условии, что вершина D пирамиды зада¨ется коор-
динатами D(−4, 7, 3), а треугольником е¨е основания является треугольник ABC из
задачи 25.4.
25.10. Для треугольника ABC из задачи 25.2 найти:
a) каноническое уравнение прямой CA, параметрическое уравнение прямой CD и век-
торное уравнение прямой AB; одно из полученных уравнений представить урав-
нением прямой в отрезках, другое — в нормальной форме и третье — уравнением
прямой с угловым коэффициентом, построить эти прямые;
б) угол между прямыми CB и CA;
в) точку пересечения медиан треугольника;
г) уравнения биссектрис смежных углов, образованных пересечением прямых CB и
CA;
д) расстояние от точки A до медианы треугольника, провед¨енной из угла C;
е) уравнения прямых, проходящих через точку A, одна из которых параллельна, а
другая перпендикулярна стороне CB;
ж) точку пересечения последней прямой с прямой CB.
25.11. Для пирамиды из задачи 25.9 найти:
