Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

u
R
∈ M
R
h(A − q
∗
B)u
R
, v − u
R
i > hf, v − u
R
i ∀v ∈ M
R
v
0
M
R
0
c
0
> 0
A
R
ν
> R
0
kvk
V
> R
ν
f ∈ V
∗
: kfk
V
∗
6 c
0
hAv, v −v
0
i − hf, v − v
0
i > hAv, v −v
0
i − ckv − v
0
k
V
> ν > 0 .
B q
0
>
0 kvk
V
6 R |q
∗
| 6 q
0
|q
∗
hBv, v −v
0
i| 6 |q
∗
|kBvk
V
∗
kv − v
0
k
V
6 ν/2.
hAv, v −v
0
i − q
∗
hBv, v −v
0
i > hf, v − v
0
i ∀v ∈ S
R
ν
,
S
R
ν
= {v ∈ M : kvk
V
= R
ν
} ku
R
ν
k = R
ν
h(A − q
∗
B)u
R
ν
, u
R
ν
− v
0
i > hf, u
R
ν
− v
0
i v
0
∈ M
R
ν
,
ku
R
ν
k
V
< R
ν
u
R
ν
v ∈ M ε > 0
v
ε
= (1 − ε)u
R
ν
+ εv ∈ M
R
ν
.
v v
ε
εh(A − q
∗
B)u
R
ν
, v − u
R
ν
i > εhf, v − u
R
ν
i,
   íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ uR ∈ MR , ÷òî

             h(A − q ∗ B)uR , v − uR i > hf, v − uR i ∀ v ∈ MR           (6.34)

èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ðåøåíèå.
   Ïóñòü v0  íåêîòîðûé ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà MR0 , c0 > 0  ïðîèç-
âîëüíîå ÷èñëî. Èç êîýðöèòèâíîñòè îïåðàòîðà A ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå
òàêîãî Rν > R0 , ÷òî ïðè kvkV > Rν äëÿ âñåõ f ∈ V ∗ : kf kV ∗ 6 c0
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:

  hAv, v − v0 i − hf, v − v0 i > hAv, v − v0 i − ckv − v0 kV > ν > 0 .   (6.35)

Ïîñêîëüêó B  îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, òî, çíà÷èò, íàéäåòñÿ òàêîå q0 >
0, ÷òî ïðè kvkV 6 R è |q ∗ | 6 q0 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:

              |q ∗ hBv, v − v0 i| 6 |q ∗ |kBvkV ∗ kv − v0 kV 6 ν/2.      (6.36)

Èç (6.35) è (6.36) ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (6.22) èìååò
ìåñòî íåðàâåíñòâî:

       hAv, v − v0 i − q ∗ hBv, v − v0 i > hf, v − v0 i ∀v ∈ SRν ,       (6.37)

ãäå SRν = {v ∈ M : kvkV = Rν }. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè kuRν k = Rν , òî
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

           h(A − q ∗ B)uRν , uRν − v0 i > hf, uRν − v0 i v0 ∈ MRν ,

ïðîòèâîðå÷àùåå íåðàâåíñòâó (6.34), è, òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíî óñëî-
âèå kuRν kV < Rν .
   Ïîêàæåì, ÷òî uRν áóäåò ðåøåíèåì çàäà÷è (6.9). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
v ∈ M , òî íàéäåòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëîå ε > 0 ïðè êîòîðîì

                       vε = (1 − ε)uRν + εv ∈ MRν .

Èñïîëüçóÿ â íåðàâåíñòâå (6.34) â êà÷åñòâå v ôóíêöèþ vε ïîëó÷èì

                εh(A − q ∗ B)uRν , v − uRν i > εhf, v − uRν i,

                                       55

Страницы