Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p
1
− ε > r
ε
.
abc 6
a
p
p
+
b
q
q
+
c
r
r
,
1
p
+
1
q
+
1
r
= 1 , p, q, r > 1 , a, b, c > 0
|hBu, vi| 6 c
³
k∂
1
(u + ξ)k
(p
1
−ε)
L
p
1
+ k∂
2
(u + ξ)k
(p
2
−ε)
L
p
2
+ kvk
r
ε
L
r
ε
´
.
kvk
r
ε
L
r
ε
6 c
³
k∂
1
(v + ξ)k
r
ε
L
p
1
+ k∂
2
(v + ξ)k
r
ε
L
p
2
´
6
6 c
³
k∂
1
(v + ξ)k
(p
1
−ε)
L
p
1
+ k∂
2
(v + ξ)k
(p
2
−ε)
L
p
2
+ 1
´
.
v
0
M
hAu, u − v
0
i − q
∗
hBu, u − v
0
i >
>
2
X
k=1
(c
1
k∂
k
uk
p
k
L
p
k
− c
2
k∂
k
uk
p
k
−1
L
p
k
− c
ε
|q
∗
|k∂
k
uk
p
k
−ε
L
p
k
− c
3
)∀u ∈ M,
A − q
∗
B
lim
kuk
V
→∞
hAu, u − v
0
i − q
∗
hBu, u − v
0
i
kuk
V
>
> lim
(a
1
+a
2
)→+∞
2
X
k=1
(c
1
a
k
p
k
− c
2
a
k
p
k
−1
− c
ε
|q
∗
|a
k
p
k
−ε
− c
3
)
(a
1
+ a
2
)
= +∞.
p
2
> 3 p
1
> 2
r = p
1
                                               p1 − ε > r ε .                                               (6.27)

     Äàëåå, ïîëüçóÿñü ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì:
           ap bq cr   1 1 1
     abc 6   + + , ãäå + + = 1 , p, q, r > 1 , a, b, c > 0                                                  (6.28)
           p  q  r    p q r
ñ ïîêàçàòåëÿìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè ðàâåíñòâó (6.26), èç íåðàâåíñòâà
(6.23) ïîëó÷àåì îöåíêó:
                      ³                                                                             ´
                                             (p −ε)                    (p −ε)
     |hBu, vi| 6 c k∂1 (u +               ξ)kLp1      + k∂2 (u +    ξ)kLp2        +      kvkrLεrε       .   (6.29)
                                               1                         2


 ñèëó òåîðåì âëîæåíèÿ Ñîáîëåâà (ñì. çàìå÷àíèå 6.2) è íåðàâåíñòâà
(6.27) ïîëó÷àåì îöåíêó
                                      ³                                                  ´
                  kvkrLεrε    6 c k∂1 (v +          ξ)krLεp    + k∂2 (v +    ξ)krLεp         6
                                                           1                         2

                      ³                                                                      ´
                                             (p −ε)                    (p −ε)
                 6 c k∂1 (v +             ξ)kLp1      + k∂2 (v +    ξ)kLp2         +1 .                     (6.30)
                                               1                         2


     Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò v0 èç ìíîæåñòâà M , òîãäà èç
íåðàâåíñòâà (4.23) â ëåììå 4.1 è íåðàâåíñòâ (6.29), (6.30) ïîëó÷àåì îöåí-
êó
                               hAu, u − v0 i − q ∗ hBu, u − v0 i >
    2
    X
  >   (c1 k∂k ukpLkp − c2 k∂k ukpLkp−1 − cε |q ∗ | k∂k ukLpkp−ε − c3 )∀ u ∈ M, (6.31)
                          k                     k                        k
      k=1
èç êîòîðîé â óñëîâèÿõ ïóíêòà 1) íàñòîÿùåé òåîðåìû ñëåäóåò êîýðöèòèâ-
íîñòü îïåðàòîðà A − q ∗ B :
                              hAu, u − v0 i − q ∗ hBu, u − v0 i
                        lim                                     >
                      kukV →∞              kukV
                              2
                              X
                                    (c1 ak pk − c2 ak pk −1 − cε |q ∗ | ak pk −ε − c3 )
                              k=1
       >        lim                                                                              = +∞.
            (a1 +a2 )→+∞                              (a1 + a2 )
     Èç óñëîâèé (6.20) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî p2 > 3 è p1 > 2, à ðàâåíñòâî
(6.7) âûïîëíåíî ñ ïîêàçàòåëåì r = p1 . Èç íåðàâåíñòâà (6.23), ïîëüçóÿñü

                                                       53

Страницы