Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p = min{p
1
, p
2
} > 2
u f u ∈
V
2
= [W
(2)
p
(Ω)]
3
(f − Au) ∈ L
∗
p
u
h
2
X
k=1
kT
k
(Λ
k
(u)) − T
k
(Λ
k
(u
h
))k
L
q
k
6 ch
c h
hAu
h
, v
h
− u
h
i+hAu, v − ui ≥ hf, v
h
− u
h
i+hf, v −ui±hAu
h
−Au, u
h
−ui.
hAu
h
− Au, u
h
− ui 6 hf − Au, u
h
− v + u − v
h
i + hAu
h
− Au, v
h
− ui.
M
h
M
h
⊆ M
v = u
h
∈ M
h
⊆ M v
h
= Π
h
u
hAu
h
−Au, u
h
−ui 6 kf −Auk
L
∗
p
ku −Π
h
uk
L
p
+ kAu
h
−Auk
V
∗
kΠ
h
u −uk
V
.
D =
2
X
k=1
kT
k
(Λ
k
(u)) − T
k
(Λ
k
(u
h
))k
L
q
k
.
A
h V {u
h
}
D
2
6 2
Ã
2
X
k=1
kT
k
(Λ
k
(u)) − T
k
(Λ
k
(u
h
))k
2
L
q
k
!
6
6 c
1
2
X
k=1
hA
k
u
h
− A
k
u, u
h
− ui = c
1
hAu
h
− Au, u
h
− ui
   Èìååò ìåñòî

   Ëåììà 8.5. Ïóñòü âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî p = min{p1 , p2 } > 2,
ðåøåíèå u çàäà÷è (7.3) è ïðàâàÿ ÷àñòü f óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì u ∈
        (2)
V2 = [Wp (Ω)]3 , (f − Au) ∈ L∗p . Òîãäà, åñëè uh  ðåøåíèå çàäà÷è (7.4),
òî âûïîëíåíà îöåíêà:
                       2
                       X
                             kTk (Λk (u)) − Tk (Λk (uh ))kLqk 6 ch                 (8.22)
                       k=1

ñ êîíñòàíòîé c, íå çàâèñÿùåé îò h.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëîæèì íåðàâåíñòâà (4.22) è (8.20):

hAuh , vh − uh i+hAu, v − ui ≥ hf, vh − uh i+hf, v − ui±hAuh −Au, uh −ui.

Äàëåå, èìååì

 hAuh − Au, uh − ui 6 hf − Au, uh − v + u − vh i + hAuh − Au, vh − ui.

Èç îïðåäåëåíèÿ Mh è óñëîâèÿ (6.1) ñëåäóåò âêëþ÷åíèå Mh ⊆ M . Âûáè-
ðàÿ v = uh ∈ Mh ⊆ M , vh = Πh u è ó÷èòûâàÿ (8.21), ïîëó÷àåì

hAuh − Au, uh − ui 6 kf − AukL∗p ku − Πh ukLp + kAuh − AukV ∗ kΠh u − ukV .

Îáîçíà÷èì
                              2
                              X
                   D=               kTk (Λk (u)) − Tk (Λk (uh ))kLqk .
                              k=1
Èç êîýðöèòèâíîñòè îïåðàòîðà A ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü ïî
h â V ðåøåíèé {uh } çàäà÷è (8.20), ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó (8.15) è (8.16)
èìååì                        Ã 2                                           !
                              X
               D2 6 2               kTk (Λk (u)) − Tk (Λk (uh ))k2Lq           6
                                                                       k
                              k=1
                 2
                 X
          6 c1         hAk uh − Ak u, uh − ui = c1 hAuh − Au, uh − ui
                 k=1

                                              69

Страницы