Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

kA
k
u − A
k
vk
2
V
∗
6
6 chA
k
u − A
k
v, u − vi(c
∗
+ k∂
k
uk
L
p
k
+ k∂
k
vk
L
p
k
)
p
k
−2
6
6 ckA
k
u − A
k
vk
V
∗
ku − vk
V
(c
∗
+ k∂
k
uk
L
p
k
+ k∂
k
vk
L
p
k
)
p
k
−2
.
kA
k
u − A
k
vk
V
∗
6 cku − vk
V
(c
∗
+ k∂
k
uk
L
p
k
+ k∂
k
vk
L
p
k
)
p
k
−2
6
6 ku − vk
V
(c
0
+ c
1
kuk
p−2
V
+ c
1
kvk
p−2
V
).
A = A
1
+ A
2
A
A
A
M
M
h
u
h
∈ M
h
: hAu
h
, v
h
− u
h
i ≥ hf, v
h
− u
h
i ∀v
h
∈ M
h
.
L
∗
p
L
p
V L
p
g ∈ L
∗
p
⊂ V
∗
hg, vi 6 kgk
L
∗
p
kvk
L
p
∀v ∈ V .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçâåäåì íåðàâåíñòâî (8.16) â êâàäðàò è âîñïîëü-
çóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (8.15), òîãäà ïîëó÷èì:

                             kAk u − Ak vk2V ∗ 6

         6 chAk u − Ak v, u − vi(c∗ + k∂k ukLpk + k∂k vkLpk )pk −2 6
       6 ckAk u − Ak vkV ∗ ku − vkV (c∗ + k∂k ukLpk + k∂k vkLpk )pk −2 .
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíà îöåíêà:

      kAk u − Ak vkV ∗ 6 cku − vkV (c∗ + k∂k ukLpk + k∂k vkLpk )pk −2 6

                  6 ku − vkV (c0 + c1 kukp−2
                                         V   + c1 kvkp−2
                                                     V ).

Ïðè ýòîì äëÿ îïåðàòîðà A = A1 + A2 ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (8.17).
   Ëåììà äîêàçàíà.
   Èç ëåììû 4.1 ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A, ó÷àñòâóþùèé â çàäà÷å (4.22),
ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîìîíîòîííûì è êîýðöèòèâíûì, â õîäå äîêàçàòåëüñòâà òåî-
ðåìû 4.1 óñòàíîâëåíà ïîòåíöèàëüíîñòü îïåðàòîðà A, â ëåììå 8.4 äîêàçà-
íà îãðàíè÷åííàÿ ëèïøèö-íåïðåðûâíîñòü ýòîãî îïåðàòîðà. Òàêèì îáðà-
çîì, äëÿ A âûïîëíåíû óñëîâèÿ (1.3)(1.7).
   Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñâîéñòâî àïïðîêñèìàöèé ðåøåíèé çàäà÷è
(4.22) ïðè äîïîëíèòåëüíîé ãëàäêîñòè ïðàâîé ÷àñòè è ðåøåíèÿ ýòîé çàäà-
÷è. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (6.1), è ìíîæåñòâî
M ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à (4.22) ïðåîáðàçóåòñÿ â âà-
ðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî, è ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîíå÷íîìåðíàÿ çàäà÷à ÿâ-
ëÿåòñÿ âàðèàöèîííûì íåðàâåíñòâîì (ìíîæåñòâî Mh îïðåäåëåíî â (8.4)):

     íàéòè uh ∈ Mh : hAuh , vh − uh i ≥ hf, vh − uh i ∀vh ∈ Mh .           (8.20)

   Îáîçíà÷èì ÷åðåç L∗p ïðîñòðàíñòâî ñîïðÿæåííîå ê Lp (ñì. çàìå÷àíèå
6.2, ñòð. 45). Î÷åâèäíî, ÷òî V ïëîòíî âêëàäûâàåòñÿ â Lp , ñëåäîâàòåëüíî,
åñëè g ∈ L∗p ⊂ V ∗ , òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

                       hg, vi 6 kgkL∗p kvkLp ∀v ∈ V .                      (8.21)

                                      68

Страницы