Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

c
0
> 0 c
1
, c
2
> 0
x, y ∈ R
3
¯
¯
¯
¯
t(|x|)
|x|
x −
t(|y|)
|y|
y
¯
¯
¯
¯
2
6
6 c
1
µ
t(|x|)
|x|
x −
t(|y|)
|y|
y , x − y
(1 + |x|
p
+ |y|
p
)
1−2/p
,
¯
¯
¯
¯
t(|x|)
|x|
x −
t(|y|)
|y|
y
¯
¯
¯
¯
6 c
2
| x − y |(1 + |x| + |y|)
p−2
.
k = 1, 2 t
k
: R
+
→ R
+
p
k
> 2 A
k
kT
k
(Λ
k
(u)) − T
k
(Λ
k
(v))k
2
L
q
k
6
6 chA
k
u − A
k
v, u − vi(c
∗
+ k∂
k
uk
L
p
k
+ k∂
k
vk
L
p
k
)
p
k
−2
∀u, v ∈ V,
kA
k
u − A
k
vk
V
∗
6 kT
k
(Λ
k
(u)) − T
k
(Λ
k
(v))k
L
q
k
∀u, v ∈ V,
q
k
= p
k
/(p
k
− 1) c, c
∗
> 0
Z
Ω
|T
k
(Λ
k
(u)) − T
k
(Λ
k
(v))|
q
k
dα 6
6 c
0
Z
Ω
(T
k
(x) − T
k
(y), x − y)
q
k
/2
(1 + |Λ
k
(u)|
p
k
+ |Λ
k
(v)|
p
k
)
(1−2/p
k
)(q
k
/2)
dα 6
6 c
0
Z
Ω
(T
k
(x) − T
k
(y) , x − y) dα
q
k
/2
×
×
Z
Ω
c
1
+ |Λ
k
(u)|
p
k
+ |Λ
k
(v)|
p
k
dα
(2−q
k
)/2
.
ãäå c0 > 0. Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå c1 , c2 > 0, ÷òî äëÿ
ëþáûõ x, y ∈ R3 âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà:
                            ¯                      ¯2
                            ¯ t(|x|)      t(|y|)   ¯
                            ¯        x −         y ¯ 6
                            ¯ |x|           |y| ¯
           µ                                 ¶
              t(|x|)     t(|y|)
     6 c1            x−         y , x − y (1 + |x|p + |y|p )1−2/p ,                   (8.13)
                |x|        |y|
           ¯                      ¯
           ¯ t(|x|)     t(|y|)    ¯
           ¯        x −        y  ¯ 6 c2 | x − y | (1 + |x| + |y|)p−2 .               (8.14)
           ¯ |x|          |y| ¯
    Ëåììà 8.3. Ïóñòü äëÿ k = 1, 2 ôóíêöèè tk : R+ → R+ óäîâëåòâî-
ðÿþò íåðàâåíñòâó (8.12) ñ ïîêàçàòåëåì pk > 2. Òîãäà îïåðàòîðû Ak ,
îïðåäåëåííûå â (4.18), óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì:

                               kTk (Λk (u)) − Tk (Λk (v))k2Lq 6
                                                             k



   6 chAk u − Ak v, u − vi(c∗ + k∂k ukLpk + k∂k vkLpk )pk −2 ∀u, v ∈ V,               (8.15)

           kAk u − Ak vkV ∗ 6 kTk (Λk (u)) − Tk (Λk (v))kLqk ∀u, v ∈ V,               (8.16)

ãäå qk = pk /(pk − 1) è c, c∗ > 0.

    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (8.13), ïîëó÷àåì:
                           Z
                                |Tk (Λk (u)) − Tk (Λk (v))|qk dα 6
                           Ω
       Z
6 c0        (Tk (x) − Tk (y), x − y)qk /2 (1 + |Λk (u)|pk + |Λk (v)|pk )(1−2/pk )(qk /2) dα 6
       Ω
                                                                qk /2
                               Z
                     6 c0         (Tk (x) − Tk (y) , x − y) dα          ×
                               Ω
                                                                 (2−qk )/2
                               Z
                        ×         c1 + |Λk (u)|pk + |Λk (v)|pk dα .
                               Ω



                                               66

Страницы