Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

w M(v)
ε
w
> 0 k ε ∈ (0, ε
w
]
k
ε
w
(k)
ε
∈ M
h
k
(v
h
k
) ,
w
(k)
ε
= Π
h
k
(w
ε
) ≡ Π
h
k
(w + θ
ε
e
3
) , e
3
= (0, 0, 1) , k = 1, 2, 3, . . . ,
θ
ε
v M
V {v
h
k
} v
V [C(Ω)]
3
∀δ > 0 , ∃i
δ
: |v
h
k
(α) − v(α) | < δ ∀i > i
δ
, ∀α ∈ Ω .
{h
k
}
+∞
k=1
α ∈ Ω α
h
k
∈ T
h
k
k = 1, 2, 3, . . .
α ξ v
α ∈ Ω
F (ξ(α) + v(α)) = lim
k→+∞
F (ξ(α
h
k
) + v(α
h
k
) ± v
h
k
(α
h
k
)) =
= lim
k→+∞
F (ξ(α
h
k
) + v
h
k
(α
h
k
)) 6 lim
i→+∞
ξ
3
(α
h
k
) + (v
h
k
(α
h
k
))
3
=
= lim
k→+∞
ξ
3
(α
h
k
) + (v
h
k
(α
h
k
))
3
± v
3
(α
h
k
) = ξ
3
(α) + v
3
(α),
v M
w M w
(k)
ε
∈ M
h
k
α ∈ Ω
(ξ(α) + w
(k)
ε
(α) − P
v
h
k
(α), N(P
v
h
k
(α))) =
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè w èç M (v) ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà
εw > 0, íå çàâèñÿùàÿ îò k , ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε ∈ (0, εw ] íàéäåòñÿ íîìåð
kε , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå

                                    wε(k) ∈ Mhk (vhk ) ,                               (8.6)

ãäå

      wε(k) = Πhk (wε ) ≡ Πhk (w + θε e3 ) , e3 = (0, 0, 1) , k = 1, 2, 3, . . . ,     (8.7)

à ôóíêöèÿ θε îïðåäåëåíà ñîãëàñíî (5.6).

      Äîêàçàòåëüñòâî. Óñòàíîâèì ïðèíàäëåæíîñòü v ìíîæåñòâó M . Èç
ñëàáîé ñõîäèìîñòè â ïðîñòðàíñòâå V ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {vhk } ê v è
                                                                                            3
êîìïàêòíîãî âëîæåíèÿ (ñì. çàìå÷àíèå (5.1)) ïðîñòðàíñòâà V â [C(Ω)]
èìååì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

         ∀ δ > 0 , ∃ iδ : | vhk (α) − v(α) | < δ ∀ i > iδ ,        ∀α ∈ Ω.             (8.8)

Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {hk }+∞
                                  k=1 ñõîäèòñÿ ê íóëþ, òî äëÿ âñÿêîé
òî÷êè α ∈ Ω íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü αhk ∈ Thk , k = 1, 2, 3, . . ., ñõî-
äÿùàÿñÿ ê α. Ôóíêöèè ξ , v íåïðåðûâíû, ñëåäîâàòåëüíî, ó÷èòûâàÿ (8.8)
è îïðåäåëåíèå (4.16), äëÿ ïðîèçâîëüíîãî α ∈ Ω ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî:

            F (ξ(α) + v(α)) = lim F (ξ(αhk ) + v(αhk ) ± vhk (αhk )) =
                                  k→+∞

         = lim F (ξ(αhk ) + vhk (αhk )) 6 lim ξ3 (αhk ) + (vhk (αhk ))3 =
            k→+∞                                  i→+∞

            = lim ξ3 (αhk ) + (vhk (αhk ))3 ± v3 (αhk ) = ξ3 (α) + v3 (α),             (8.9)
               k→+∞

îçíà÷àþùåå ïðèíàäëåæíîñòü v ìíîæåñòâó M .
                                                                               (k)
      Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ w ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M , òî wε                            ∈ M hk .
Äàëåå, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî α ∈ Ω èìååì

                     (ξ(α) + wε(k) (α) − P vhk (α), N (P vhk (α))) =

                                             64

Страницы