Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 1. Загузов И.С - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

46
нормального к поверхности тела сечения пограничного слоя, позволяет, во-
первых, заменить частную производную
∂
∂
px полной, т.е.
∂
∂
p
x
dp
dx
=
, и, во-
вторых, считать, что распределение давления р(х) вдоль пограничного слоя
совпадает с распределением давления во внешнем безвихревом потоке. Это
распределение по теореме Бернулли, справедливой для набегающего на тело
безвихревого потока идеальной жидкости, можно связать со скоростью υ
∞
во
внешнем потоке. Благодаря тонкости пограничного слоя можно снести эту
скорость на поверхность, положив ее равной той, зависящей только от
продольной координаты Х скорости скольжения υ
х,∞
жидкости по
поверхности тела, которая имела бы место в идеальной жидкости, т.е. при
отсутствии пограничного слоя. Таким образом, имеет место обтекание
Эйлеровского типа, и согласно уравнению движения Эйлера для
стационарных условий обтекания и отсутствия массовых сил получим
υ
ρ
x,
x,
x
p
x
∞
∞
=−
∂υ
∂
∂
∂
1
или
υυ
ρ
x, x,
'
dp
dx
∞∞
=−
1
. (2.18)
Это условие зависимости давления только от координаты Х (условие на
бесконечности). Оно получается из уравнения Эйлера для идеальной среды,
которое в векторной форме имеет вид
()
d
dt t
F-
1
gradP
r
r
rr
r
υυ
υυ
ρ
∞∞
∞∞
=+⋅∇=
∂
∂
,
а в проекции на ось Х
∂υ
∂
∂
υ
∂
∂
∂
x,
x,
x,
x
tx
F-
1
p
x
∞
∞
∞
+=υ
ρ
.
При
∂υ
∂
x,
t
∞
= 0 и F
x
=0 получаем исходное уравнение (2.18). Внося
условие (2.18) в уравнение (2.16), получим окончательную систему
уравнений ламинарного пограничного слоя:
υυυυν
υ
x
x
y
x
x, x,
x
2
x
y
xy
'
y
xy
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂υ
∂
∂υ
∂
+= +
+=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
∞∞
2
0.
(2.19)
Эти уравнения, представляющие систему нелинейных уравнений в
частных производных второго порядка параболического типа, были
получены Прандтлем в 1904 г. Согласно идее Прандтля внешняя скорость
υ
х,∞
, входящая в первое уравнение, считается заданной, заранее рассчитанной
по теории плоского безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой
жидкостью. В такой постановке задачи предполагается, что пограничный
слой, по всему контуру обтекаемого тела настолько тонок, что его
искажающее влияние на внешний поток пренебрежимо мало. Можно сказать,
что в этом случае не учитывается обратное
влияние пограничного слоя на
внешний безвихревой поток. Необходимо отметить, что в некоторых
случаях (например, плавное обтекание тонких тел) такое пренебрежение
обратным влиянием пограничного слоя на внешний поток вполне допустимо,
а в других случаях оно может быть настолько велико, что внешнюю скорость

Страницы