Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 1. Загузов И.С - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

45
υ
υ
υ
υυ
ρυ υ
υ
x
x
x,
2
x
y
y
x, y,
x
x,
2
x
y
x,
x
2
xy
p
p
p
x
y
l
l
l
l
∞
∞∞
∞
∞
∞
∞
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
;
разделим полученное уравнение на
l
x
x,
2
υ
∞
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
:
υυ
υ
υρ
υ
υ
x
x
y
x, y
y, x
x
y
2
x,
x
x
2
xy
p
x
y
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
+
⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=− +
⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∞
∞
∞
l
l
l
l
1
2
.
Так как было принято, что
l
l
xy,
yx,
υ
υ
∞
∞
= 1
и
ν
υ
⋅
⋅
=
∞
l
l
x
x, y
2
1
, откуда
ν
υ
=
⋅
∞x, y
2
x
l
l
, то с
учетом этого получим окончательно
υυ
ρ
ν
υ
x
x
y
xx
2
xy
p
x
y
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
+=−+
1
2
. (2.16)
Теперь подставим известные афинные соотношения в уравнение (2.12):
l
l
x
x,
x
y
y,
y
xy
υ
υ
∞
∞
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∂υ
∂
∂υ
∂
0
.
Разделим оба члена на
l
x
x,
υ
∞
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
, тогда
∂υ
∂
∂υ
∂
x
x, y
y, x
y
xy
+
⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∞
∞
υ
υ
l
l
0
.
Так как было принято, что
υ
υ
x, y
y, x
∞
∞
⋅
⋅
=
l
l
1
, то получим окончательно
∂υ
∂
∂
υ
∂
x
y
xy
+=0
. (2.17)
Уравнение (2.15) преобразуется к виду
∂
∂
p
y
= 0
.
Как видно, система уравнений упрощается. В уравнении (2.16)
пропадает член
ν
υ∂
∂
2
x
2
y
, бывший до афинного преобразования в уравнении
(2.1), уравнение (2.2) пропадает из рассмотрения вовсе, так как остается
только условие
∂∂py= 0
; сохраняется лишь уравнение неразрывности (2.3)
или (2.17).
Выражение
∂∂py= 0 является условием, означающим физически, что
перепада давления в направлении нормали к обтекаемому телу нет, имеется
перепад давления только вдоль обтекаемого тела (вдоль оси X). Это третье
основное свойство погранслоя: во всех точках данного, нормального к
поверхности тела, сечения погранслоя давление имеет одно и то же значение.
Однако, несмотря на упрощение системы
уравнений, остаются следующие
трудности:
а) уравнение (2.16) нелинейно за счет первого члена в левой части;
б) имеем три неизвестные величины υ
х
, υ
у
, р, а уравнений только два,
т.е. задача в математическом отношении является некорректной
(неопределенной).
Прандтль преодолевает эти трудности следующим образом: условие
∂∂py= 0 , означающее постоянство давления во всех точках данного,

Страницы