Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 1. Загузов И.С - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

43
собственный масштаб поперечных величин - через l
y
. Соответственно этому
масштабы для чисел Маха запишутся как М
х,∞
и М
у,∞
, а для скоростей потока
- υ
х,∞
; υ
у,∞
. Тогда
xx yy
x1 y1xx,xyy,y
11
=⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
∞∞
ll;; ;
υ
υ
υ
υ
υ
υ .
Введем также значение р=р
∞
⋅р
1
. Параметры х
1
, у
1
, υ
x1
,υ
у1
, р
1
-
безразмерные величины.
Подставляя эти выражения в систему уравнений (2.1) - (2.3), получим:
υ
υ
υυ
υ
ρ
νυ
υ
νυ
υ
x,
2
x
x
x
1
x, y,
y
y
x
1x
1
1
x,
x
x
1
2
x,
y
x
1
2
1
1
1
111
xy
pp
x
xy
∞
∞∞
∞
∞∞
+=−++
ll l
ll
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
;
(2.4)
υυ
υ
υ
υ
ρ
νυ
υ
νυ
υ
x, y,
x
x
y
1
y,
2
y
y
y
1y
1
1
y,
x
y
1
2
y,
y
y
1
2
1
1
1
111
xy
pp
y
xy
∞∞ ∞
∞
∞∞
+=−++
ll l
ll
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
; (2.5)
υ
υ
x,
x
x
1
y,
y
y
1
11
xy
∞
∞
+=
ll
∂υ
∂
∂υ
∂
0; (2.6)
Приведем систему уравнений (2.4)-(2.6) к безразмерному виду,
используя правило Бертрана, которое гласит, что если уравнение описывает
физический процесс, то размерности правой и левой частей уравнения
одинаковы. Тогда, разделив уравнение (2.4) на член
υ
x,
x
∞
2
l
, уравнение (2.5) - на
υυ
x, y,
x
∞∞
l
, а уравнение (2.6) - на
υ
x,
x
∞
l
, получим безразмерную систему
уравнений:
υ
υ
υ
υ
ρυ
ν
υ
υ
ν
υ
υ
x
x
1
y, x
x, y
y
x
1
x,
1
1
xx,
x
1
2
x
x, y
y
1
2
1
1
1
111
xy
pp
x
xy
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
⋅
⋅
=− + +
⋅
⋅
∞
∞
∞
∞∞∞
l
l
l
l
l
2
2
2
2
; (2.7)
υ
υ
υ
υ
ρυυ
ν
υ
υ
ν
υ
υ
x
y
1
y, x
x, y
y
y
1
x
yx, y,
1
1
xx,
y
1
2
x
x, y
y
1
2
1
1
1
111
xy
pp
y
xy
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
⋅
⋅
=−
⋅
⋅
++
⋅
⋅
∞
∞
∞
∞∞
∞∞
l
l
l
l
l
l
l
2
2
2
; (2.8)
∂υ
∂
∂υ
∂
x
1
xy,
yx,
y
1
11
xy
+=
∞
∞
l
l
υ
υ
0; (2.9)
Для того, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности (2.9),
необходимо, чтобы в нем
l
l
xy,
yx,
υ
υ
∞
∞
= 1. Поскольку для пограничного слоя l
х
=l,
l
у
=δ, то получим
υ
υδ
y,
x,
∞
∞
⋅
⋅
=
l
1или
υ
υ
δ
y,
x,
Re
∞
∞
=
l
~
1
.
Это второе основное свойство ламинарного пограничного слоя, в
соответствии с которым поперечная скорость в области поперечного слоя
имеет тот же порядок, что и толщина слоя.
Продолжим вывод уравнений Прандтля.
Поскольку на величины l
у
и υ
у,∞
не наложено ограничений, их можно
выбрать такими, чтобы в уравнениях (2.7) и (2.8)
l
l
xy,
yx,
υ
υ
∞
∞
= 1
и
ν
υ
⋅
⋅
=
∞
l
l
x
x, y
2
1
. Тогда
из уравнения (2.7) получим следующее:

Страницы