Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 1. Загузов И.С - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

58
Так
как
(
)
∂
∂
∂υ
∂
υ
2
11
υ
r
rr r
d
dr
r
d
dr
2
+= , то уравнение Навье - Стокса
перепишется в виде:
(
)
1
r
d
dr
r
d
dr
1
dp
dx
υ
=
μ
.
Выполним последовательно двойное интегрирование.
После первого интегрирования получим:
r
d
dr
dp
dx
rC
2
1
υ
μ
=+
1
2
или
d
dr
r
dp
dx
C
r
1
υ
μ
=+
2
.
Проинтегрируем еще раз:
υ
μ
=+
1
dp
dx
rCln(r)+C
2
12
4
. (2.32)
Постоянные интегрирования С
1
и С
2
определяются из граничных
условий. Для круглой трубы с радиусом R они могут быть записаны так:
при r=R (внутренний радиус трубы) скорость υ=0; при r=0 скорость υ -
конечная величина.
Так как скорость потока в трубе должна иметь конечное значение (или
нулевое при r=R ), а при r→ 0 формула (2.32) дает бесконечное значение
скорости на оси, то
физически реальный результат получим лишь при C
1
= 0.
Используя первое граничное условие, найдем
C
dp
dx
R
2
2
=−
1
4μ
, и тогда
υ
μ
=−
1
4
dp
dx
(R - r )
22
. (2.33)
Таким образом, для круглой трубы имеем параболическое
распределение скоростей по сечению (рис. 6).
На оси трубы, т.е. при r=0, скорость потока
достигает максимального значения:
υ
μ
max
2
dp
dx
R=−
1
4
.
Тогда
(
)
υυ=−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
max
r
R
1
2
или в безразмерном виде
()
υ
υ
max
r
R
=−1
2
.
Очевидно, что пространственная эпюра скоростей представляет собой
параболоид вращения с основанием πR
2
и высотой υ
max
. Для цилиндрической
трубы можно записать
dp
dx
p
const=− =
Δ
l
,
где Δp - перепад давления в трубе длиной l.
Определим среднюю расходную и максимальную скорости в круглой
трубе. Объемный расход жидкости равен:
Q =2 rdr r 1-
r
R
dr = R
2
0
R
max
2
2
R
2
max
πυ πυ π
υ
∫∫
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
0
.
Этот результат получается следующим образом:
Рис.6

Страницы