Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 1. Загузов И.С - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

66
уравнение - уравнение движения (аналогично случаю ламинарного
пограничного слоя).
Для этого уравнение неразрывности умножим на υ
x
:
υ
x
x
y
xy
∂υ
∂
∂υ
∂
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 0
;
и добавим его в левую часть первого уравнения системы (2.34)
υυ υυ
ρ
ν
υ
x
x
x
y
x
x
y
xx
2
xy xy
p
x
y
∂υ
∂
∂υ
∂
∂υ
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++=−+
1
2
.
В результате преобразований (как и в случае ламинарного погранслоя -
уравнение (2.21)) первое уравнение системы (2.34) получим в виде
()
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xy
p
x
y
xx xy
x
2
υυ υυ
ρ
ν
υ
+=−+
1
2
.
Здесь
()
∂
∂
∂υ
∂xx
xx x
x
υυ υ= 2 ;
()
∂
∂
∂
υ
∂
∂υ
∂yyy
xy x
y
y
x
υυ υ υ=+.
Проведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения:
()()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xy
p
x
y
xx xy
x
2
υυ υυ
ρ
ν
υ
+=−+
1
2
(2.36)
υυ υυ υυ υ υυυ υ υυυ
xx x x x x x
2
xx x
2
x
2
xx x
2
(')(') '' ''=+ ⋅+ =+ +=+ +22 (для первого члена
используется правило осреднения
υυ υυ υ
xx xx x
2
==). Так как
υ'
x
= 0
, то
υυ υ υ
xx x
2
x
2
=+' ;
υυ υ υ υ υ υυ υυ υ υ υ υ υυ υυ υ υ υ υ υυ υ υ
xy x x y y xy x y x y x y xy x y x y x y xy x y
( ')( ') ' ' '' ' ' '' ''=+⋅+=+++ =+++ =+ .
Так как
p=p+p', то
p=p+p'=p (т.к .p' )= 0
. Аналогично
υυ
υ
xxx
'=+ и υυυυ υ
xx xx x
' т.к .'=+= =0 .
Подставляя значения
υυ
xx
и υυ
xy
в уравнение (2.36), получим:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
υ
υυ
ρ
ν
υυ
υυ
x
2
xy
x
2
x
2
xy
xy
p
x
y
'
x
''
y
+=−+−−
1
2
. (2.37)
Учитывая уравнение неразрывности в осредненном виде:
∂
∂
∂
∂
υ
υ
x
y
xy
+=0
, (2.38)
можно уравнение движения (2.37) записать так:
υ
υ
υ
υ
ρ
ν
υυ
υυ
x
x
y
xx
2
x
2
xy
xy
p
x
y
'
x
''
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+=−+−−
1
2
. (2.39)
С этой целью левая часть уравнения (2.37) преобразовывается с учетом
уравнения неразрывности следующим образом:
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
x
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
xxyy xy xy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+++− +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=+
.
Уравнения (2.38) и (2.39) входят в систему дифференциальных
уравнений Рейнольдса осредненного турбулентного движения несжимаемой
вязкой жидкости, которую можно окончательно представить в виде

Страницы