Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 35 стр.

UptoLike

Составители: 

35
тельной плоскости, а именно комплексный потенциал циркуляционного
обтекания кругового цилиндра (он считается заданным). Тогда
;zln
i2z
a
z)z(W
2
π
Γ
+υ+υ=
;ln
i2
a
)(W
*2
***
ζ
π
Γ
+
ζ
υ+ζυ=ζ
где
*
υ и
*
Γ соответственно скорость на бесконечности и циркуляция
вектора скорости по произвольному контуру
*
1
C , охватывающему
*
C во
вспомогательной плоскости
ζ
. Если известна функция, отображающая
внешнюю область кругового цилиндра в плоскости
ζ
на внешнюю область
профиля в плоскости z, то есть дана зависимость: )(fz
ζ
=
, то можно запи-
сать:
)(w)](f[w)z(W
*
ζ
=
ζ
= .
Взяв производную по
ζ
от обеих частей этого равенства, получим:
)(f
dz
dW
d
dz
dz
dW
d
dW
'
*
ζ=
ζ
=
ζ
.
Поскольку
υ=
dz
dW
, а
*
*
d
dW
υ=
ζ
, то
)(f
'
*
ζυ=υ , и в бесконечно удален-
ных точках:
υ=υ m
*
, где )(fm
'
=
.
По принятому ранее условию направление вектора скорости на беско-
нечности
υ при конформном отображении сохраняется, т.е. векторы
*
υ
и
υ параллельны друг другу. Отсюда следует параллельность и сопря-
женных векторов
*
υ
и
υ
, а поскольку
m - действительная величина
(будем считать ее для определенности положительной), то
υ=υ m
*
.
Рассмотрим теперь циркуляцию Г
*
. Учитывая, что Γ=υ
dzRe ,
представим Г
*
как действительную часть интеграла:
Γ=υ=ζ
ζ
υ=ζυ=Γ
dzRed
d
dz
RedRe
*
1
*
1
*
1
CCC
*
*
.
Видно, что циркуляция вектора скорости по любому замкнутому кон-
туру, охватывающему обтекаемый профиль, при конформном отображе-
нии сохраняет свое значение.
Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные вели-
чины
*
υ и Г
*
через заданные величины
υ
, Г и коэффициент
ζ
==
d
dz
)(fm
'
. Следовательно, будем иметь окончательное выражение