Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

64
0
y
' 1
x
'
2
2
22
2
=
∂
ψ∂
ω
−
∂
ψ∂
, (2.65)
где 1M
22
−=ω
∞
Решение гиперболического уравнения является частным случаем ре-
шения уравнений математической физики (отметим, что при М>5 решение
гиперболического уравнения дает большую ошибку). Гиперболическое
уравнение было получено Даламбером при рассмотрении бегущей волны в
струне – так называемое уравнение бегущей волны. Далабмер решал это
уравнение введением новых переменных:
yx ω−=ξ , yx ω−=
η
.
Если применить этот прием для гиперболического уравнения (2.65), то оно
примет более простой вид. Найдем все производные, входящие в это урав-
нение:
x
'
x
'
x
'
∂
η
∂
η∂
ψ∂
+
∂
ξ∂
ξ∂
ψ
∂
=
∂
ψ∂
;
y
'
y
'
y
'
∂
η∂
η∂
ψ
∂
+
∂
ξ
∂
ξ∂
ψ
∂
=
∂
ψ
∂
.
Для вычисления вторых производных используем знаменитое правило
Лейбница в следующем виде:
2
2
22
2
2
2
2
2
x
'
xx
'
2
x
'
x
'
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
η∂
ψ∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ξ∂
η∂ξ∂
ψ∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ξ∂
ξ∂
ψ∂
=
∂
ψ∂
,
2
2
22
2
2
2
2
2
y
'
yy
'
2
y
'
y
'
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
η∂
ψ∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ξ∂
η∂ξ∂
ψ∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ξ∂
ξ∂
ψ∂
=
∂
ψ∂
.
Если сделать подстановку всех производных в исходное гиперболическое
уравнение с учетом
того, что
1
x
=
∂
ξ∂
;
ω−=
∂
ξ∂
y
; 1
x
=
∂
η∂
;
ω=
∂
η
∂
y
,
то после преобразований получим:
1
'
11
'
21
'
x
'
2
22
2
2
2
2
⋅
η∂
ψ∂
+⋅⋅
η∂ξ∂
ψ∂
+⋅
ξ∂
ψ∂
=
∂
ψ∂
,
2
2
22
2
2
2
2
2
)(
'
))((
'
2)(
'
y
'
ω
η∂
ψ∂
+ωω−
η∂ξ∂
ψ∂
+ω−
ξ∂
ψ∂
=
∂
ψ∂
.
Подставим эти выражения в исходное гиперболическое уравнение (2.65) и
приведем подобные члены
0
' ' '
4
' '
2
2
2
22
2
2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
η∂
ψ∂
−
η∂
ψ∂
+
η∂ξ∂
ψ∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξ∂
ψ∂
−
ξ∂
ψ∂
или
0
'
2
≡
η∂ξ∂
ψ∂
. (2.66)

Страницы