ВУЗ:
Составители:
40
∂
∂
∂υ
∂
2
11
υ
μ
r
rr
dp
dx
2
+=
.
Так как
()
∂
∂
∂υ
∂
υ
2
11
υ
r
rr r
d
dr
r
d
dr
2
+= , то уравнение Навье - Стокса перепишется в виде:
(
)
1
r
d
dr
r
d
dr
1
dp
dx
υ
=
μ
.
Выполним последовательно двойное интегрирование.
После первого интегрирования получим:
r
d
dr
dp
dx
rC
2
1
υ
μ
=+
1
2
или
d
dr
r
dp
dx
C
r
1
υ
μ
=+
2
.
Проинтегрируем еще раз:
υ
μ
=+
1
dp
dx
rCln(r)+C
2
12
4
(1.34)
Постоянные интегрирования С
1
и С
2
определяются из граничных условий. Для
круглой трубы с радиусом R они могут быть записаны так: при r=R (внутренний
радиус трубы) скорость
υ=0; при r=0 скорость υ - конечная величина.
Так как скорость потока в трубе должна иметь конечное значение (или нулевое при
r
=R ), а при r→ 0 формула (1.34) дает бесконечное значение скорости на оси, то
физически реальный результат получим лишь при C
1
= 0. Используя первое
граничное условие, найдем:
C
dp
dx
R
2
2
=−
1
4μ
и тогда
υ
μ
=−
1
4
dp
dx
(R - r )
22
(1.35)
Таким образом, для круглой трубы имеем параболическое распределение
скоростей по сечению (рис. 7).
На оси трубы, т.е. при r=0, скорость потока
достигает максимального значения:
υ
μ
max
2
dp
dx
R=−
1
4
.
Тогда
(
)
υυ=−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
max
r
R
1
2
или в безразмерном виде
(
)
υ
υ
max
r
R
=−1
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
