Основы аэрогидромеханики. Часть II. Загузов И.С. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим скалярное произведение тензора напряжений
и диффе-
ренциального тензора векторного поля скоростей
P
υ
∇
как свертку (скаляр-
ное произведение двух тензоров
ij ij
TQ tq
⋅
= ):
()
yy
xzx
xx yy zz xy
y
xz z
xz yz
pppp
xyz yx
pp
zx zy
∂∂
⎛⎞
∂∂∂
⋅∇ = + + + + +
⎜⎟
∂∂∂ ∂∂
⎝⎠
∂
⎛⎞
∂∂ ∂
⎛⎞
+++ +
⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠
P
υυ
υυυ
υ
υ
υυ υ
Здесь учтено, что тензор
P симметричный, т. е.
ij ji
p
p
=
.
Распишем скалярные составляющие тензора напряжений, имеющего
вид
2
2
3
-pE S div=+ −
P
µ
µυ
, где Е – тензорная единица,
0, если ij
1, если ij
ij
E
≠
⎧
=
⎨
=
⎩
,
S – симметричная часть тензора (
υ
∇
) или тензор скоростей деформаций,
1
2
j
i
ji
S
x
υ
υ
⎛⎞
∂
∂
=+
⎜
⎜
∂∂
⎝⎠
⎟
⎟
,
µ
– динамический коэффициент вязкости.
2
2
3
xx xx
р
ps div
µ
µυ
=− + −
;
2
2
3
yy yy
p
ps div
µ
µυ
=− + −
;
2
2
3
zz zz
p
ps div
µ
µ
=− + −
υ
; 2
x
yxy
p
s
µ
=
; 2
x
zxz
p
s
µ
=
; 2
yz yz
p
s
µ
= .
Здесь учтено, что:
x
xx
s
x
υ
∂
=
∂
;
y
yy
s
y
υ
∂
=
∂
;
z
zz
s
z
υ
∂
=
∂
;
1
2
y
x
xy
s
yx
υ
υ
∂
⎛⎞
∂
=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
;
1
2
x
z
xz
s
zx
υ
υ
∂∂
⎛⎞
=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
;
1
2
y
z
yz
s
zy
υ
υ
∂
⎛⎞
∂
=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
.
Тогда
()
22
22
33
xx xx yy yy
p
s div s p s div s
⎛⎞⎛
∇=−+ − +−+ −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⋅P

υµµυ µµυ
⎞
+
⎟
⎠
2
222222
3
2
z
zzzxyxyxzxzyzyz
p
sdivssssss
µµυ µ µ µ
⎛⎞
+−+− +⋅+⋅+⋅
⎜⎟
⎝⎠
s.
Преобразуем полученное выражение:
()
()
()
()
222
2
2
3
xx yy zz xx yy zz xx yy zz
psss sss divsss⋅∇ =− + + + + + − + + +P

υµµυ
(
)
222
4
x
xyyzz
s
ss
µ
+++;
63

Страницы