Основы аэрогидромеханики. Часть II. Загузов И.С. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

()
2
2
VVV
dd
u d F d div d qd
dt dt
⎛⎞
+=⋅+ +
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
vvPv
V
∫
v

υ
ρρυυρ
. (2.26)
Это и есть уравнение энергии для конечных масс сплошной среды.
Если перенести влево все члены уравнения (2.26) и применить к полу-
ченному интегралу теорему о среднем, то получим следующее уравнение:
()
2
0
2
dd
uFdiv
dt dt
⎡⎤
⎛⎞
+− ⋅− − ∆=
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
Pv
q

υ
ρρυυρ
.
Так как рассматриваемый малый объем среды конечен, т.е.
, то
равным нулю будет выражение в квадратных скобках. Оставив в левой
части его производную по времени от полной энергии, получим:
0∆≠
v
()
2
2
dd
uFdiv
dt dt
⎛⎞
+= ⋅+ +
⎜⎟
⎝⎠
P
q

υ
ρρυυρ
. (2.27)
Выражение (2.27) является уравнением энергии для элементарного
объема сплошной среды. Оно выражает равенство между изменением пол-
ной энергии (кинетической и внутренней) элементарного объема движу-
щейся жидкости, с одной стороны, и работой массовых сил, работой на-
пряжений в жидкости на границах элементарного объема и переданным
теплом, с другой.
Это уравнение является первой
формой дифференциального уравне-
ния энергии.
Преобразуем уравнение (2.27). Возьмем известное уравнение движе-
ния в напряжениях в виде:
d
Fdiv
dt
=+
P
υ
ρρ
. Здесь или ∇ – это ска-
лярное произведение вектора
divP P
∇
на тензор , являющееся вектором. Ум-
ножим скалярно обе части этого векторного уравнения на вектор скорости
P
υ
и преобразуем левую часть уравнения, тогда получим:
2
2
d
Fd
dt
=⋅+iv
⋅
P
υ
ρρυυ
.
Полученный результат вычтем из дифференциального уравнения
энергии в первой форме (2.27) и после сокращения получим:
()
du dq
div div
dt dt
=− ⋅ + +
PP
ρυ υρ
.
Рассмотрим операцию
(
)
div P
υ
. Из векторного анализа известно, что:
(
)
(
)
(
)
(
)
div =∇⋅ = ⋅ ∇ + ⋅ ∇PPP

P
υ
υυυ
. Здесь
υ
∇
– дифференциальный
тензор векторного поля скоростей или тензорное произведение векторов
∇
61

Страницы