Основы аэрогидромеханики. Часть II. Загузов И.С. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

ма среды равна сумме мощностей приложенных к выделенному объему и
его поверхности внешних массовых и поверхностных сил и отнесенного к
единице времени количества тепловой энергии, подведенной извне к объему.
Здесь:
.сек
V
d
qq
dt
=
∫
ρ
v
d
, где – количество выделяемой (поглощае-
мой) тепловой энергии в единице массы (объема), т.е.
q
кг
ккал
q
⎡⎤
⎥⎢
⎣⎦
n
,
p
- век-
тор единичной поверхностной силы или вектор напряжений,
– вектор
единичной массовой силы.
F
Рассмотрим интеграл в левой части уравнения (2.25). Введем произ-
водную под знак интеграла и продифференцируем подынтегральное выра-
жение:
()
222
222
VV V
dd
ud u du d
dt dt dt
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
+=+ ++
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
∫∫ ∫
υυυ
ρρ
vv
d
ρ
v
.
Так как изменения массы в силу неразрывности движения сплошной
среды нет, то
()
0
ddm
d
dt dt
==
ρ
v
.
Следовательно, второй
0
=
∫
и из рассмотрения выпадает, тогда:
22
22
VV
dd
ud ud
dt dt
⎛⎞ ⎛⎞
+= +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫
υυ
ρρ
vv
.
Рассмотрим интеграл
n
S
p
ds
υ
⋅
∫
в правой части уравнения (2.25). Так
как вектор напряжений
n
p
nn==P

P
, где – тензор напряжений, являю-
щийся симметричным, то
P
(
)
(
)
(
)
n
SS S V
p
ds n ds n ds div d⋅= ⋅=⋅ =
∫∫ ∫∫
PP

υυυ
Pv
υ
.
Здесь применили теорему Остроградского-Гаусса: Поток вектора
сквозь поверхность, ограничивающую данный объем, равен интегралу по
этому объему от дивергенции этого вектора.
Отметим, что
(
)
P
– это скалярное произведение тензора напряжений
на вектор скорости P
υ
, являющееся вектором, а
(
)
(
)
div =∇⋅PP
υ
υ
– это
скалярное произведение вектора
∇
(оператора Гамильтона) на вектор
(
)
P
, являющееся скаляром.
Подставим полученные соотношения в уравнение баланса энергии
(2.25):
60

Страницы