Введение в математическое моделирование процессов аэрогидромеханики. Ч.II. Загузов И.С. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Интеграл Бернулли уравнения движения
Если массовые силы имеют потенциал, то существует такая функция
П, которая удовлетворяет условию:
FgradП=−
G
, где П – потенциал массо-
вых сил
F
G
(знак «-» по условию).
Бернулли рассмотрел случай, когда под действием потенциального
поля массовых сил с потенциалом
П идеальная жидкость совершает ста-
ционарное
баротропное движение (т.е. 0
t
υ
∂
=
∂
G
). Кроме того, он предполо-
жил, что изменение плотности тоже имеет стационарный характер (т.е.
0
t
ρ
∂
=
∂
).
В этом случае уравнение движения имеет вид:
(
)
Fgradp
ρυ υ ρ
⋅∇ = −
G
G
G
или
()
1
Fgrad
υυ
ρ
⋅∇ = − p
G
GG
. (2.5)
В общем случае плотность среды есть функция давления и температу-
ры
(
)
,pT
ρ
=
, и такой процесс называют бароклинным. При баротропном
же процессе (баротропном равновесии газа) плотность газа есть функция
только давления:
(
)
p
ρ
ρ
=
.
В этом случае можно ввести
функцию давления :
P
()
()
0
р
р
dp
р
p
ρ
=
∫
P
.
Продифференцируем эту функцию давления:
dp
d
ρ
=
P
.
Поскольку это полные дифференциалы, можно записать:
1 ppp
dx dy dz dx dy dz
xyz xyz
ρ
⎛⎞
∂∂∂ ∂∂∂
++= ++
⎜⎟
∂∂∂ ∂∂∂
⎝⎠
PPP
.
Отсюда видно:
1
p
x
x
ρ
∂∂
=
∂∂
P
;
1
p
yy
ρ
∂
∂
=
∂
∂
P
;
1
p
zz
ρ
∂
∂
=
∂
∂
P
.
Тогда:
1
p
pp
ijk ij
k
x
yz xyz
ρ
⎛⎞
∂∂∂ ∂∂∂
++= ++
⎜⎟
∂∂∂ ∂∂∂
⎝⎠
G
G
GG GG
PP P
.
Здесь:
grad i j k
x
yz
∂∂∂
=∇ = + +
∂∂∂
G
GG
PP P
PP
;
p
pp
gradp p i j k
x
yz
∂
∂∂
=∇ = + +
∂
∂∂
G
GG
.
Таким образом, градиент функции давления равен:
1
grad gradp
ρ
=P .
61

Страницы