ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
метода Лагранжа или метода Гамильтона. В этих случаях введение
переменных, характеризующих электромагнитное поле в уравнения
движения, достигается на основании так называемой минимальной замены:
импульс частицы заменяется на обобщенный импульс
~
p →
~
p − q
˜
A/c где
~
A
векторный потенциал.
Пример 2.9. Электрон с зарядом e массой m движется со скоростью
~
v вдоль оси X, в лабораторной системе отсчета и в точке
x = 0 попадает в однородное электрическое поле напряженности
~
E, направленное вдоль оси Y . Найти траекторию движения
электрона.
Запишем уравнение (2.1) для α = 1 получим dp
1
/dt
s
= 0, и следовательно
U
1
= const (где U
µ
- компоненты 4-скорости электрона). C учетом
движения частицы в области, где
~
E = 0, имеем U
1
= vΓ (v) = const, а
так как U
1
= dx/dt
s
, найдем t
s
= x/vΓ (v). Запишем теперь уравнения (2.1)
для α = 0 и α = 2 получим с учетом (2.2)
dU
0
dt
s
= ω U
(2)
,
dU
(2)
dt
s
= ω U
(0)
, ω ≡
eE
mc
(2.15)
Объединяя последние два уравнения, находим d
2
U
(2)
/dt
2
s
= ω
2
U
(2)
.
Общее решение этого уравнения есть: U
(2)
= A · sh(ω t
s
) + B · ch(ω t
s
), где
A и B произвольные константы. Учитывая начальное условие U
(2)
(0) = 0,
получаем B = 0, т.е. U
(2)
= A · sh(ω t
s
). На основании (2.15) находим
U
(0)
(t
s
) = A·ch(ω t
s
) и так как при t
s
= 0, U
(0)
(0) = cΓ(v). Отсюда A = cΓ(v)
т. е.:
dy
dt
s
= U
(2)
= c Γ (v) sh (ω t
s
) (2.16)
Интегрируя (2.16) по dt
s
с учетом t
s
= x/vΓ (v): и начального условия y = 0
при x = 0, находим траекторию движения электрона:
y = Γ (v)
c
ω
ch
ωx
vΓ (v)
− 1
(2.17)
Пример 2.10. Определить характер движения заряженной частицы
в постоянном магнитном поле с индукцией
~
B.
На основании (2.13) уравнения движения имеют вид:
˙
~
p ≡
d˜p
dt
=
e
c
h
˜v ×
˜
B
i
, ˙ε ≡
dε
dt
= 0 (2.18)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
