Электродинамика. Специальная теория относительности. Запрягаев С.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
3 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
3.1 4-х мерные обозначения
Использование 4-х мерных обозначений в электродинамике приводит к
определениям следующих важнейших 4-векторов: 4-ток j ≡ (cρ,
~
j) и 4-
потенциал A ≡ (ϕ,
~
A). В определении 4-тока ρ - объемная плотность
заряда,
~
j - плотность тока, c - скорость света, а в определении 4-потенциала
ϕ - скалярный,
~
A - векторный потенциалы.
Компоненты напряженностей полей образуют тензор электромагнитного
поля, ковариантные компоненты которого определяются равенством:
F
αβ
def
= ∂
α
A
β
− ∂
β
A
α
=
∂A
β
∂x
α
−
∂A
α
∂x
β
. (3.1)
Явная запись ко- или контравариантного тензора электромагнитного поля
может быть представлена в виде матриц:
F
αβ
=
0 E
x
E
y
E
z
−E
x
0 −B
z
B
y
−E
y
B
z
0 −B
x
−E
z
−B
y
B
x
0
, F
αβ
=
0 −E
x
−E
y
−E
z
E
x
0 −B
z
B
y
E
y
B
z
0 −B
x
E
z
−B
y
B
x
0
. (3.2)
На основании введенных 4-х мерных обозначений систему уравнений
Максвелла в вакууме можно записать либо через 4-ток и 4-потенциал:
A
α
= −
4π
c
j
α
, (3.3)
либо через тензор электромагнитного поля (β, λ, µ, ν ∈ 0, 1, 2, 3):
3
X
α=0
∂
α
F
αβ
=
4π
c
j
β
, ∂
λ
F
µν
+ ∂
µ
F
νλ
+ ∂
ν
F
λµ
= 0. (3.4)
Пример 3.1. Доказать, что 4-ток j - есть 4-вектор.
Закон сохранения заряда в дифференциальной форме с учетом
определений ∂
µ
и j
µ
имеет вид: (∂ · j) = 0. Так как ∂ - 4-вектор,
данное равенство есть скалярное произведение 4-вектора ∂ на 4-вектор
ч. т. д., т. е. j - 4-вектор,и таким образом при преобразованиях Лоренца
компоненты этого вектора преобразуются в соответствии:
j
µ
=
3
X
λ=0
γ
µ
λ
j
0λ
. (3.5)

Страницы