Электродинамика. Специальная теория относительности. Запрягаев С.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
Пример 3.2. Шар радиуса R заряжен равномерно по объему в
собственной системе отсчета до заряда Q. Какова плотность
заряда шара, измеренная наблюдателем, относительно которого
шар движется со скоростью v.
Из (3.5) находим: j
0
=
P
3
λ=0
γ
0
λ
j
0λ
; т.е. ρ = ρ
0
Γ(v) = QΓ(v)/(4πR
3
/3).
Пример 3.3. Доказать, что 4-потенциал A есть 4-вектор.
Используя определения 4-тока и 4-потенциала, систему уравненений
Максвелла запишем в виде (3.3). Так как - инвариант, A - 4-вектор.
Пример 3.4. Найти электромагнитные потенциалы ϕ и
~
A точечного
заряда e движущегося со скоростью
~
v = const.
6 6
S’S
-
ψ
vt
r
1
R
-
e
x
x’
-
u -
v
Рис. 9.
В системе S
0
, связанной с зарядом,
потенциалы ϕ
0
= e/r
0
;
~
A
0
= 0.
Используя преобразование Лоренца
для скалярного потенциала в системе
S, найдем: ϕ = ϕ
0
Γ(v) = eΓ(v)/r
0
,
где: r
0
=
p
x
02
+ y
02
+ z
02
=
Γ(v)
p
(x −vt)
2
+ (y
2
+ z
2
)/Γ
−2
(v). В
результате величина ϕ, выраженная через
переменные системы S равна:
ϕ =
e
p
(x −vt)
2
+ (y
2
+ z
2
)/Γ
2
(v)
=
e
r
Γ(v sin ψ), (3.6)
т. к. x − vt = r cos ψ, y
2
+ z
2
= r
2
sin
2
ψ (см. рис. 9). Соответственно для
векторного потенциала получим:
A
x
= Γ(v)
h
A
0
x
+
v
c
A
0 0
i
=
v
c
ϕ =
ev
cr
Γ(v sin ψ); A
y
= A
z
= 0. (3.7)
Пример 3.5. Доказать, что тензор электромагнитного поля - 4-
тензор.
Так как тензор электромагнитного поля (3.1) определяется через 4-
векторы ∂ и A, то при преобразовании Лоренца имеем:
F
αβ
=
3
X
λ,µ=0
a
µ
α
a
λ
β
∂
0
µ
A
0
λ
− a
λ
β
a
µ
α
∂
0
λ
A
0
µ
=
3
X
λ,µ=0
a
µ
α
a
λ
β
F
0
µλ
,
что и является определением 4-тензора (см. (1.21)).

Страницы