Электродинамика. Специальная теория относительности. Запрягаев С.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

37
Подставляя (3.23) в (3.22) и выполняя интегрирование, найдем F
z
=
Q
2
/8R
2
.
Пример 3.14. Доказать, что тензор энергии-импульса эле-
ктромагнитного поля удовлетворяет соотношению:
3
X
α=0
T
µ
α
T
α
ν
= δ
µ
ν
E
2
− B
2
2
+ 4
~
E ·
~
B
2
/ (8π)
2
.
Так как данное равенство содержит инварианты поля, достаточно
показать, что оно выполняется в какой-либо одной системе отсчета.
1. Пусть E
2
= B
2
и (
~
E ·
~
B) = 0. Выберем
~
E = ε ·
~
i,
~
B = ε ·
~
j. Тогда
отличными от нуля будут лишь компоненты тензора T
00
= T
0z
= T
zz
и,
следовательно:
P
α
T
µ
α
T
α
ν
= 0.
2. Если
E
2
− B
2
+ (
~
E ·
~
B) 6= 0. В примере (3.8) показано, что векторы
~
E и
~
B можно сделать параллельными. Пусть
~
E = E
~
i,
~
B = B
~
j. В
результате отличными от нуля будут лишь компоненты тензора энергии-
импульса T
00
= T
xx
= T
yy
= T
zz
. В результате
3
X
α=0
T
µ
α
T
α
ν
= δ
µν
(E
2
+ B
2
)
2
(8π)
2
= δ
µν
(E
2
− B
2
)
2
+ 4E
2
B
2
(8π)
2
ч.т.д.
Упражнения к главе 3
1. В некотором электромагнитном поле электрический вектор
~
E образует
угол θ с вектором магнитной индукции
~
B, причем угол θ инвариантен для
всех наблюдателей. Чему равен θ ?
2. Пусть (
~
E ·
~
B) = 0. Доказать, что при B
2
− E
2
< 0 существует
преобразование Лоренца, обращающее в ноль магнитное поле, а при B
2
−
E
2
> 0, обращающее в ноль электрическое поле. Найти скорости движения
соответствующих систем относительно лабораторной.
3. Наблюдаемая длина волны хорошо известной спектральной линии в
излучении далекой галактики равна 0.5 мкм. Стандартная длина волны этой
линии 0.4 мкм. С какой скоростью удаляется галактика? Каково расстояние
от нее до Земли?
4. Получить формулу для эффекта Доплера в случае звука.
5. Найти поле равномерно движущегося диполя
~
d.
6. Найти поле равномерно движущегося магнитного момента ~µ.
7. Два заряда движутся параллельно друг другу со скоростями
~
v.

Страницы