Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 3 стр.

                                                                                        2


Найти магнитную индукцию внутри магнетика с проницаемостью
µ.                                                          q
   Величина искомого вектора индукции равна B =              Bn2 + Bt2 где
Bn -нормальная и Bt - тангенцальная составляющие вектора индукции
внутри магнетика. На границе раздела, в соответствии с (3) выполняются
равенства: Bn = Bn vac = Bvac cos αvac ; Bt = µHt = µHt vac = = µBt vac =
µBvac sin αvac . В результате:
                                    q
                         B = Bvac cos2 αvac + µ2 sin2 αvac .                         (4)
Угол между направлением нормали и направлением вектора индукции
можно найти из выражения: tgα = Bt /Bn = µtgαvac , или α =
arctg(µtgαvac ).
   Пример 1.1.2. Можно ли создать в пространстве постоянный ток
с объемной плотностью ~j = ~j0 exp(−αr), где ~j0 - постоянный вектор,
а α - произвольная постоянная, r- модуль радиуса-вектора?
   В соответствии с системой уравнений (1) плотность тока должна
удовлетворять условию стационарности div ~j = 0. В связи с этим вычислим,
чему равна div ~j в данном примере:
                   div ~j = ~j0 grad (e−αr ) = −αe−αr (~j0~r)/r 6= 0.                (5)
Следовательно, создать такой постоянный ток в пространстве нельзя.
    Пример 1.1.3. Определить распределение объемной плотности
тока в пространстве, если напряженность магнитного поля тока
имеет вид H      ~ = f (~r)[~µ × ~r], где f (~r)- произвольная дифференцируемая
функция, а ~µ -постоянный вектор. Определить, при какой функции
f (~r) плотность тока удовлетворяет условию стационарности?
    На основании уранений (1) находим:
           ~j = c rot H     ~ = c [grad f × [~µ × ~r]] + f [5
                                                                                 
                                                                    ~ × [~µ × ~r]] =
                   4π              4π
               c  
                                                                               ~
                                                                                    
          =         ~µ(~r · grad f ) − ~r(~µ · grad f ) + f ~µdiv~r − f (~µ · 5)~r =
              4π
                             c                                             
                        =        ~µ(~r · grad f ) − ~r(~µ · grad f ) + 2f ~µ .        (6)
                            4π
В частном случае, если f зависит только от модуля радиуса вектора, то
grad f = ∂f    ~r
            ∂r r , в результате находим:

                         ~j = c 2f ~µ + ∂f [~r × [~µ × ~r]] .
                                                          
                                                                                     (7)
                              4π        ∂r