Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 4 стр.

                                                                              3


Выражения (6),(7) удовлетворяют условию стационарности при любой f (~r),
т.к div rot H~ ≡ 0.
   Пример 1.1.4. По бесконечному линейному проводнику протекает
постоянный ток I. Определить магнитное поле, создаваемое этим
током в любой точке пространства.
                                Из условий симметрии системы очевидно, что
                              вектор индукции может быть направлен лишь по
                              касательной к окружности, лежащей в плоскости
                              ортогональной линии тока. Это вытекает из
                              условия инвариантности физической системы
                              относительно сдвига начала координат вдоль
                              линии тока и вращения системы координат вокруг
           Рис. 2:            оси, совпадающей с линией тока. Кроме того, ясно,
что на окружности произвольного радиуса величина вектора индукции
постоянна. В результате на основании (2) находим:
     I
         ~  ~
                   Z               Z               4π                2I
        (H dl) =       Bϕ dl = Bϕ dl = Bϕ 2πr =       I. → Bϕ = .           (8)
      L             R                               c                cr
Комментарий:            cоотношение         (2)    является      в    теории
магнитостаического              поля     аналогом     теоремы      Гаусса     в
электростатике. Применение соотношения (2) целесообразно при
условии, если интегральный член вычисляется на основании условий
симметрии системы.
   Пример 1.1.5. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R
параллельно его оси течет ток с объемной плотностью зависящей
только от модуля радиуса вектора цилиндрической системы
координат ~j = ~j(r). Найти напряженность поля внутри и снаружи
цилиндра.
   Представив цилиндр с током как совокупность линейных проводников, на
основании принципа суперпозиции и, повторяя рассуждения, приведенные
в примере 1.1.4, получим, что вектор напряженности лежит в плоскости
ортогональной оси цилиндра и направлен по касательной к окружности с
центром на оси цилиндра.
   Выберем в формуле (2) в качестве контура интегрирования окружность
радиуса r, лежащую в плоскости ортогональной оси цилиндра (пусть это
плоскость x,y), тогда
                      I           I           Z
                         ~   ~
                        (H dl) = H dl = Hϕ dl = Hϕ · 2πr.                   (9)
                   L           r            r