Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Здесь H
ϕ
-составляющая поля в направлении положительного изменения
угла цилиндрической системы координат ϕ. Так как
~
j = j(r)
~
k и d
~
s =
~
kds =
~
krdrdϕ, ток через круг радиуса r равен:
Z
~
j d
~
s =
Z
j(r
0
) ds =
Z
r
0
Z
2π
0
j(r
0
)r
0
dr
0
dϕ = 2π
Z
r
0
j(r
0
)r
0
dr
0
=
=
2π
R
R
0
j(r
0
)r
0
dr
0
, если r ≥ R;
2π
R
r
0
j(r
0
)r
0
dr
0
, если r < R.
(10)
В результате находим окончательно:
H
r
= H
ϕ
= 0; H
ϕ
=
4π(
R
R
0
j(r
0
)r
0
dr
0
)/rc, если r ≥ R;
4π(
R
r
0
j(r
0
)r
0
dr
0
)/rc, если r < R.
(11)
Пример 1.1.6. В пространстве между
Рис. 3:
двумя коаксиальными цилиндричискими
поверхностями радиусов R
1
и R
2
, (R
1
< R
2
)
течет ток плотности
~
j(r) параллельно оси
цилиндров ( r- модуль радиуса- вектора
циллиндрической системы координат).
Найти напряженность магнитного поля в
любой точке пространства.
Условия симметрии задачи аналогичны условиям симметрии в примерах
1.1.4, 1.1.5. Следовательно, для окружности произвольного радиуса r,
лежащей в плоскости x, y:
I
r
~
H · d
~
l = H
ϕ
· 2πr. (12)
Соответственно для тока находим:
Z
~
j · d
~
s =
0, если r < R
1
;
2π(
R
r
R
1
j(r
0
)r
0
dr
0
), если R
1
< r < R
2
;
2π(
R
R
2
R
1
j(r
0
)r
0
dr
0
), если r > R
1
.
(13)
На основании (2), (12), (13) получаем окончательно величины полей. При
этом H
r
= H
z
= 0.
Пример 1.1.7. Квадратная рамка со стороной a находится в одной
плоскости с прямолинейным током I. На каком расстоянии от тока
расположена ближайшая сторона рамки, если поток магнитного
поля через поверхность рамки равен φ
0
(см. задачу 198 в [1])
Вектор индукции магнитного поля в любой точке рамки равен B
ϕ
= 2I/cr
(см. пример 1.1.4), где r- расстояние от оси тока до произвольной точки,
                                                                                                      4


   Здесь Hϕ -составляющая поля в направлении положительного изменения
 угла цилиндрической системы координат ϕ. Так как ~j = j(r)~k и d~s = ~kds =
~krdrdϕ, ток через круг радиуса r равен:
        Z              Z                 Z r Z 2π                              Z r
                              0                         0      0   0                   0   0   0
            ~j d~s =       j(r ) ds =               j(r )r dr dϕ = 2π                j(r )r dr =
                                          0 0                                   0
                                   2π R j(r 0 )r 0 dr 0 ,
                                  
                                                                   если r ≥ R;
                                       R
                             =           0                                                         (10)
                                   2π R r j(r 0 )r 0 dr 0 ,       если r < R.
                                         0
  В результате находим окончательно:
                                               4π(R R j(r 0 )r 0 dr 0 )/rc,
                                              
                                                    0                               если r ≥ R;
        Hr = Hϕ = 0;               Hϕ =        4π(R r j(r 0 )r 0 dr 0 )/rc,
                                                                                                   (11)
                                                    0                               если r < R.
                          Пример 1.1.6. В пространстве между
                        двумя    коаксиальными     цилиндричискими
                        поверхностями радиусов R1 и R2 , (R1 < R2 )
                        течет ток плотности ~j(r) параллельно оси
                        цилиндров ( r- модуль радиуса- вектора
                        циллиндрической    системы     координат).
                        Найти напряженность магнитного поля в
         Рис. 3:        любой точке пространства.
   Условия симметрии задачи аналогичны условиям симметрии в примерах
1.1.4, 1.1.5. Следовательно, для окружности произвольного радиуса r,
лежащей в плоскости x, y:
                                         I
                                              ~ · d~l = Hϕ · 2πr.
                                              H                                                    (12)
                                          r
Соответственно для тока находим:
                         0,                      если r < R1 ;
                       
                       
                                    0
           Z                Rr          0   0
             ~j · d~s = 2π( R1 j(r )r dr ), если R1 < r < R2 ;
                       
                                                                                                   (13)
                                      0
                         2π( RR12 j(r )r0 dr0 ), если r > R1 .
                       
                           R
                       


На основании (2), (12), (13) получаем окончательно величины полей. При
этом Hr = Hz = 0.
  Пример 1.1.7. Квадратная рамка со стороной a находится в одной
плоскости с прямолинейным током I. На каком расстоянии от тока
расположена ближайшая сторона рамки, если поток магнитного
поля через поверхность рамки равен φ0 (см. задачу 198 в [1])
  Вектор индукции магнитного поля в любой точке рамки равен Bϕ = 2I/cr
(см. пример 1.1.4), где r- расстояние от оси тока до произвольной точки,

Страницы