Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

42
решении следующей задачи. Такой способ построения последовательности
решений известен под названием
метод продолжения по параметру.
Рассмотренный в основной части данной главы метод возмущения
параметров является его частным вариантом.
С методом продолжения по параметру тесно связан
метод
дифференцирования по параметру
или метод Давиденко. Допустим, что
система уравнений (П.2.1) в некотором интервале изменения
λ
определяет
непрерывное и непрерывно дифференцируемое решение )(
λ
r
x . Про-
дифференцируем уравнения системы (П.2.1) по
λ
, придерживаясь правила
дифференцирования сложной функции. Получим векторное равенство
()
()
0
);(
);( =
∂
∂
+
λ
λ
λ
λ
λλ
rr
r
d
d
xfx
xJ
,
которое, предполагая невырожденность матрицы Якоби
()
λ
λ
);(xJ ,
преобразуем к системе дифференциальных уравнений вида
()
[]
()
λ
λ
λ
λλ
λ
∂
∂
−=
−
);(
);(
1
r
r
r
d
d
xf
xJ
x
. (П.2.2)
Пусть нами также получено решение
)0(
r
x системы (П.2.1) для некоторого
значения
0
λ
параметра
λ
из интервала непрерывности функции )(
λ
r
x .
Тогда это решение можно использовать в качестве начального условия
)0(
0
)(
rr
xx =
λ
(П.2.3)
для системы дифференциальных уравнений (П.2.2).
Решение сформулированной задачи Коши (П.2.2), (П.2.3) даст, как
можно надеяться, требуемое решение исходной системы нелинейных
уравнений (П.2.1) в анализируемом диапазоне значений параметра
λ
. По
существу, это непрерывный вариант метода продолжения по параметру.
Зависимость от параметра можно вводить в систему уравнений
искусственно, что зачастую помогает в поиске ее решений. Например,
пусть,
)0(
x – начальное приближение к решению системы 0)( =xf , но оно
не может обеспечить сходимость описанных выше итерационных методов.
Введем в рассмотрение новую вектор-функцию, зависящую от параметра:
)()1()();(
)0(
xfxfxF −+=
λλ
. (П.2.4)
Совершенно очевидно, что при 0=
λ
система уравнений
0)()()0;(
)0(
=−= xfxfxF имеет решение
)0(
x , а при 1=
λ
она переходит в
исходную систему: 0)()1;( ==
xfxF . Следовательно, к системе 0);( =
λ
xF
целесообразно применить метод дифференцирования по параметру, в
рамках которого нетрудно получить систему дифференциальных
уравнений

Страницы