ВУЗ:
Составители:
40
формулы секущих, а основанный на ее использовании алгоритм называется
методом Бройдена.
На каждом шаге метода Бройдена проводятся следующие вычисления.
1. Решается СЛАУ )(
)(k
k
xf∆xA −= .
2. Определяется новое приближение
∆xxx +=
+ )()1( kk
и вычисляется
значение функции )(
)1( +k
xf .
3. По формуле (2.25) определяется матрица
1+k
A , необходимая для
выполнения нового шага.
Алгоритм содержит неопределенность в выборе начального
приближения
0
A . На практике для обеспечения начала итерационного
процесса здесь единственный раз можно использовать конечные разности
для аппроксимации матрицы Якоби
)J(x
)0(
, положив затем )J(xA
)0(
0
= .
Исходя из процедуры конструирования алгоритма, можно сделать
вывод о том, что метод Бройдена является многомерным обобщением
метода секущих, точнее, одним из возможных вариантов такого
обобщения. Скорость сходимости у метода Бройдена, как и у любого
метода секущих, несколько ниже, чем у метода Ньютона. Это
подтверждает таблица 2.2, содержащая результаты применения метода
Бройдена к системе уравнений (2.18), которая ранее уже решались
методом Ньютона (см. табл. 2.1). Результат, например, с шестью верными
цифрами после десятичной точки достигается за тринадцать итераций, в то
время как, методу Ньютона на это требуется восемь итераций.
Таблица 2.2
k
)(
1
k
x
)(
2
k
x
Xx −
)(k
0 2.000000000 2.000000000 1.414213562
1 1.694513211 0.889023252 0.703323850
2 1.532940994 0.835742461 0.557679695
3 1.330935487 0.770464391 0.402746685
4 1.251500757 0.804076528 0.318808151
5 1.139841409 0.866849425 0.193092452
6 1.087198127 0.913245001 0.123003835
7 1.039140157 0.958904664 0.056751903
8 1.016525113 0.982554663 0.024029547
9 1.003700722 0.996037640 0.005421774
10 1.000537288 0.999428320 0.000784536
11 1.000005832 0.999993444 8.774735736E-6
12 1.000000808 0.999999157 1.167386327E-6
13 0.999999806 1.000000202 2.795316564E-7
14 1.000000000 1.000000000 3.994662952E-10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
