Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

39
()
()
)1(
1
)(
)(
−
−
−−=
k
kk
k
xxAAx∆F . (2.23)
Матрицу
k
A предлагается выбирать так, чтобы модуль разности (2.23) был
минимален для всех
x :
()
.min)()()(
)()(
== x∆Fx∆Fx
k
T
k
ρ
При этом матрица
1−k
A считается заданной.
Для упрощения исследования функции )(
x
ρ
перейдем к новым
координатам точки
x , таким что
t∆xxx +=−
−
α
)1(k
,
где
)1()( −
−=
kk
xx∆x , t – произвольный вектор, перпендикулярный вектору
∆x (это означает, что 0=t∆x
T
), и 10 ≤≤
α
. В координатах ),( t
α
()
∆At∆At∆A∆x∆At∆At∆A∆x∆A∆x∆A∆xt
TTTTTTTT
+++=
αααρ
22
),(.
В этом выражении первое и второе слагаемые заведомо неотрица-
тельны. Кроме того, величина
∆A∆x∆A∆x
TT
не зависит от матрицы
k
A ,
т.к. из соотношения секущих (2.21) следует, что
()
∆xAxfxf∆xAA∆A∆x
1
)1()(
1
)()(
−
−
−
−−=−=
k
kk
kk
. (2.24)
Поэтому, чтобы минимизировать ),(
2
t
αρ
при любых
α
и t матрицу
k
A
следует выбирать так, чтобы
()
0
1
=−=
−
tAA∆At
kk
. Равенство всегда будет
иметь место, если
T
∆xv∆A = ,
где вектор
v должен быть таким, чтобы удовлетворялось соотношение
секущих. Подставив полученное выражение для
∆A в соотношение
секущих в форме (2.24), найдем вектор
v
∆x∆x
∆xAxfxf
v
T
k
kk
1
)1()(
)()(
−
−
−−
= ,
а затем и матрицу
T
T
k
kk
kk
∆x
∆x∆x
∆xAxfxf
AA
1
)1()(
1
)()(
−
−
−
−−
+= . (2.25)
Таким образом, получена итерационная формула (2.25), позволяющая
по некоторой первоначально заданной матрице
0
A построить последо-
вательность матриц
k
A , удовлетворяющих соотношению секущих (2.21).
Каждая из этих матриц может быть использована на соответствующем
шаге итерационного процесса (2.20). Формула (2.25) носит название

Страницы