ВУЗ:
Составители:
38
тельные результаты, заслуживают внимания итерационные алгоритмы
вида (2.16), в которых вместо матрицы Якоби используются ее некоторым
способом составленные приближения. Такие алгоритмы носят название
квазиньютоновских. Наиболее популярным из них является алгоритм,
предложенный Бройденом в 1965 году.
Одна из возможных интерпретаций формулы Ньютона (2.16)
заключается в следующем. На каждом шаге итерационного процесса,
после того как найдено приближение
)(k
x , исходная векторная функция
f(x) заменяется линейной моделью
)()()(
)()()( k
k
kk
xxAxfxF −+= , (2.19)
где )(
)(k
k
xJA = . Решение
)1( +k
x системы уравнений 0)(
)(
=xF
k
,
полученное в рамках данной модели, принимается за новое приближение к
корню. В итоге итерационная формула принимает вид
)(
)(1)()1( k
k
kk
xfAxx
−+
−= . (2.20)
Предположим теперь, что матрица Якоби недоступна, например, не
может быть задана аналитически, и потребуем чтобы
)()(
)1()1()( −−
=
kkk
xfxF ,
т.е. чтобы модель, построенная для точки
)(k
x , позволяла вычислять
значения векторной функции в предыдущей точке
)1( −k
x . Это приводит к
так называемому соотношению секущих:
()
)()(
)1()()1()( −−
−=−
kkkk
k
xfxfxxA . (2.21)
В общем случае матрица
k
A содержит
2
n элементов, в то время как (2.21)
представляет собой систему из
n уравнений. Поэтому совершенно
очевидно, что соотношение секущих полностью определяет
k
A только при
решении одного нелинейного уравнения 0)( =
x
f
:
)1()(
)1()(
)()(
−
−
−
−
=
kk
kk
k
x
x
xfxf
A
.
В методе Бройдена недостающие для однозначного определения
матрицы
k
A условия подбираются из следующих соображений. По
аналогии с линейной моделью (2.19) для точки
)(k
x нетрудно записать
модель для предыдущей точки
)1( −k
x :
)()()(
)1(
1
)1()1( −
−
−−
−−=
k
k
kk
xxAxfxF . (2.22)
Разность )()()(
)1()()(
xFxFx∆F
−
−=
kkk
с учетом соотношения секущих
(2.21) можно представить в форме
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
