ВУЗ:
Составители:
36
Блок-схема итерационного алгоритма (2.17) приведена на рис. 2.1.
При условии, что в окрестности корня вектор-функция )(
xf дважды
непрерывно дифференцируема по всем аргументам и матрица
J
невырождена, многомерный метод Ньютона сходится квадратично:
2
)()1(
XxXx −<−
+ kk
C .
Однако для обеспечения сходимости метода весьма важен удачный выбор
начального приближения. Область сходимости сужается с увеличением
числа уравнений и ростом их сложности.
Процесс сходимости итераций метода Ньютона от начального
приближения
()
2,2
)0(
=x к корню
()
1,1=X системы уравнений
02
,01
22
2
1
21
3
2
5
1
=−+
=−−+
xxx
xxxx
(2.18)
иллюстрируется таблицей 2.1. Во второй и третий столбцы помещены
компоненты вектора приближений, полученные в ходе итераций.
Погрешность приближений занесена в четвертый столбец таблицы.
Таблица 2.1
Как видно, итерации сходятся довольно быстро – результат с семью
верными цифрами после десятичной точки получается после восьми
итераций. Заметим, что при решении этой же задачи итерационным
методом (2.11) с матрицей
=
9.00
0032.0
B
k
)(
1
k
x
)(
2
k
x
Xx −
)(k
2
)1()(
−kk
∆x∆x
0 2.000000000 2.000000000 1.414213562 -
1 1.693548387 0.890322581 0.702167004 0.351
2 1.394511613 0.750180529 0.466957365 0.947
3 1.192344147 0.822840986 0.261498732 1.199
4 1.077447418 0.918968807 0.112089950 1.639
5 1.022252471 0.976124950 0.032637256 2.598
6 1.002942200 0.996839728 4.317853366E-3 4.054
7 1.000065121 0.999930102 9.553233627E-5 5.124
8 1.000000033 0.999999964 4.871185259E-8 5.337
9 1.000000000 1.000000000 1.272646866E-14 5.363
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
