Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

34
)f(x)J(xxx
)(1)()()1( kkkk −+
−= . (2.16)
В таком компактном виде формула сильно напоминает одномерную форму
метода Ньютона и часто используется при описании его многомерной
формы. Однако в большинстве случаев вычисление обратной матрицы
1−
J
не является ни необходимым, ни желательным; предпочтение как раз
следует отдавать решению СЛАУ (2.13).
При обсуждении эффективности многомерного метода Ньютона
следует учитывать значительный объем вычислений при решении
линейной системы (2.13) в случае, когда число уравнений в системе
велико. Но при небольших n эта операция не требует существенных затрат
машинного времени. Например, при 2
=n система (2.13) имеет простое
аналитическое решение с небольшим числом арифметических операций.
Этот случай целесообразно рассмотреть подробнее т.к. система из двух
уравнений очень часто встречается в вычислительной практике. К ней, в
частности, сводится весьма распространенная задача о нахождении
комплексных корней нелинейного уравнения 0)(
=zF . Действительно,
если ввести в рассмотрение функции
() ()
)(Im),(и)(Re),(
2121221211
jxxFxxfjxxFxxf +=+= ,
то вещественная часть
1
x и мнимая часть
2
x комплексного корня z
находятся из системы уравнений
.0),(,0),(
212211
== xxfxxf
Будем предполагать, что для данной системы определитель матрицы
Якоби (якобиан) отличен от нуля на каждой итерации:
0
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
≠
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
J
Тогда система имеет решение
.
1
,
1
1
1
2
1
2
12
2
2
1
2
1
21
∂
∂
−
∂
∂
=∆
∂
∂
−
∂
∂
=∆
x
f
f
x
f
fx
x
f
f
x
f
fx
J
J
Теперь формулы итераций (2.14) можно записать в явном виде:

Страницы