ВУЗ:
Составители:
32
2.6. Метод Ньютона
Как и в случае одного нелинейного уравнения метод Ньютона для
системы нелинейных уравнений имеет существенное преимущество в
скорости сходимости перед методом простой итерации. Этим обусловлена
широкая популярность метода Ньютона и его модификаций.
В основе метода Ньютона для систем уравнений лежит представление
левых частей всех уравнений системы (2.1) рядами Тейлора. Пусть
()
T
k
n
kkk
xxx
)()(
2
)(
1
)(
...,,,=x - текущее приближение корня
()
T
n
XXX ...,,,
21
=X и
)(k
xX∆x −= . Тогда можно записать следующее покомпонентное
разложение функции
f(X) в ряды Тейлора:
()
()
()
()
()
()
..........,,,...,,,
...................................
...,......,,,...,,,
...,......,,,...,,,
1
1
)()(
2
)(
121
2
1
1
2
)()(
2
)(
12212
1
1
1
1
)()(
2
)(
11211
+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+=
+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+=
+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+=
n
n
nn
k
n
kk
nnn
n
n
k
n
kk
n
n
n
k
n
kk
n
x
x
f
x
x
f
xxxfXXXf
x
x
f
x
x
f
xxxfXXXf
x
x
f
x
x
f
xxxfXXXf
Здесь все производные вычисляются в точке
)(k
x . С учетом того, что
0f(X) = , получим систему уравнений, эквивалентную системе (2.1):
()
()
()
.0.........,,,
...................................
,0.........,,,
,0.........,,,
1
1
)()(
2
)(
1
2
1
1
2
)()(
2
)(
12
1
1
1
1
)()(
2
)(
11
=+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+
=+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+
=+∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+
n
n
nn
k
n
kk
n
n
n
k
n
kk
n
n
k
n
kk
x
x
f
x
x
f
xxxf
x
x
f
x
x
f
xxxf
x
x
f
x
x
f
xxxf
. (2.12)
Если теперь в левых частях уравнений (2.12) оставить лишь
слагаемые, содержащие нулевую и первую степени приращений
i
x∆ , то
исходную нелинейную задачу удается свести к решению системы
линейных уравнений вида
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
