ВУЗ:
Составители:
31
весьма вероятно, что сходимость итерационного процесса будет
обеспечена. Затем полученное решение рассматривается как начальное
приближение для решения системы (2.8) при 1=
k
и т.д. В конце счета,
когда k становится равным K-1, последняя решаемая система уравнений
(2.8) становится эквивалентной исходной системе (2.1).
Таким образом, проблема выбора начального приближения в методе
возмущений параметров решена. Однако для превращения системы
уравнений (2.6) в решаемую систему может потребоваться большое число
шагов (от десятков до сотен). Поэтому применение данного метода может
быть связано со значительными затратами машинного времени.
Положительную роль играет то, что при малых «деформациях» (2.7)
решение каждой из систем уравнений (2.8) может быть получено всего за
несколько итераций.
2.5. Итерации Пикара
В ряде случаев система уравнений (2.1) имеет специальный вид и в
векторно-матричной форме обозначений записывается как
0)( =−
xGAx , (2.9)
где
A – заданная невырожденная матрица, а G – нелинейная векторная
функция. К системам уравнений такого вида приводят, в частности,
конечно-разностные методы решения нелинейных граничных задач.
Для системы (2.9) естественна следующая итерационная процедура
)(
)(1)1( kk
xGAx
−+
= , (2.10)
которая часто называется итерациями Пикара. Использование обратной
матрицы
1−
A в формуле (2.10) имеет целью лишь компактную запись
итерационного алгоритма. На самом деле, на каждом шаге итераций
решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
)(
)()1( kk
xGAx =
+
.
Итерации Пикара можно рассматривать как частный случай более
общего итерационного процесса:
)(
)()()1( kkk
xBFxx −=
+
, (2.11)
где
B – заданная невырожденная матрица. Легко видеть, что если
)()(
xGAxxF −= и
1−
= AB , то (2.11) сводится к (2.10). При другом выборе
матрицы
B мы получим еще несколько алгоритмов, в частности,
алгоритмы метода Ньютона и многомерного метода секущих.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
