Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

37
для получения результата с сопоставимой погрешностью потребовалось
247 итераций.
Данные пятого столбца таблицы 2.1 подтверждают положение о
квадратичной сходимости метода. Правда, зависимость
2
)1()(
−
≈
kk
C ∆x∆x
справедлива в довольно малой окрестности корня, а константа
C
достаточно велика: 4.5≈
C
.
Фактором, снижающим вычислительную эффективность метода
Ньютона при большом числе уравнений, является трудоемкость
вычисления матрицы Якоби. В одномерном случае можно не без
оснований предполагать, что «стоимость» вычисления )(
xf
′
та же, что и
вычисления )(
x
f
. При n измерениях требуется уже
2
n вычислений )(x
i
f
′
,
что во много раз более трудоемко, чем
n вычислений )(x
i
f . Поэтому метод
Ньютона часто модифицируют таким образом, что новая матрица Якоби
вычисляется не на каждой итерации, а через некоторое число шагов
итерационного процесса. При этом ряд итераций проводится с одной и той
же матрицей. Увеличение числа итераций, сопровождающее такую
модификацию, компенсируется меньшей «стоимостью» одной итерации.
Если производные в матрице Якоби трудно или невозможно задать
аналитически, то это будет серьезным препятствием в использовании
метода Ньютона. В таком случае можно попытаться аппроксимировать
частные производные конечными разностями, используя приближения,
полученные на предыдущих итерациях. Например, формулы двухточечной
аппроксимации производных левыми разностями в точке
)(k
x имеют вид
()( )
h
xhxxfxxxf
x
f
k
n
k
j
k
i
k
n
k
j
k
i
j
i
)()()(
1
)()()(
1
...,,...,,...,,...,, −−
=
∂
∂
.
Вычисленные таким образом производные можно использовать в
уравнениях (2.13), проводя итерации в соответствии с общей схемой
метода Ньютона. Однако следует иметь в виду, что приближенная матрица
Якоби может оказаться плохо обусловленной.
Наконец заметим, что если все же желательно использовать
аналитическую запись матрицы Якоби, то рутинную работу по
дифференцированию функций и последующему программированию
полученных выражений можно облегчить, используя компьютерные
программы символьного дифференцирования.
2.6. Метод Бройдена
Поскольку прямое вычисление матрицы Якоби не всегда возможно, а
ее конечно-разностная аппроксимация зачастую дает неудовлетвори-

Страницы