ВУЗ:
Составители:
55
Кроме силы тяжести
g
m на материальную точку действует также
сила реакции связи
N. Поэтому уравнение движения точки имеет вид
Ng
r
+= m
d
t
d
m
2
2
, (3.6)
где
r – радиус-вектор точки.
Движение по оси
х описывает проекция уравнения (3.6) на
соответствующую ось:
α
sin
2
2
N
d
t
xd
m
−= . (3.7)
Здесь
α
– угол, который составляет с осью х касательная к кривой )(
x
f
y =
в текущей точке. Величина силы реакции связи находится из условия
отсутствия перемещений по нормали к кривой )(
x
f
y = :
α
cosm
g
N
= .
Учитывая, что
[] []
22
)(1
1
cosи
)(1
)(
sin
xfxf
xf
′
+
=
′
+
′
=
αα
,
уравнение движения (3.7) преобразуем к виду
[]
0
)(1
)(
2
2
2
=
′
+
′
+
xf
xf
g
dt
xd
.
В это уравнение добавим еще слагаемое
dtdx
δ
2 , учитывающее силу
трения, пропорциональную скорости. Тогда оно примет вид
[]
0
)(1
)(
2
22
2
=
′
+
′
++
xf
xf
g
dt
dx
dt
xd
δ
. (3.8)
В окрестности точки минимума функции ее производная 1)( <<
′
xf , и
вместо (3.8) можно использовать более простое уравнение
0)(2
2
2
=
′
++ xfg
dt
dx
d
t
xd
δ
. (3.9)
Физический опыт показывает, что с течением времени
рассматриваемая система примет положение равновесия в точке минимума
функции )(
x
f
. Это можно установить и строго математически, исследуя
уравнение (3.9). Действительно, умножив уравнение (3.9) на производную
dtdx и перегруппировав слагаемые, получим
02)(
2
1
22
<
−=
+
dt
dx
xgf
dt
dx
dt
d
δ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
