ВУЗ:
Составители:
56
Из полученного выражения следует, что функция
)(
2
1
),(
2
xgf
dt
dx
xxW
+
=
&
в процессе движения непрерывно уменьшается. Но минимум функции
)(
x
W достигается в точке минимума функции )(
x
f
при нулевой скорости
dtdx :
)0,()(
minmin ∗∗
=== xWxgfgfW .
Следовательно, движение материальной точки приводит ее в точку
∗
x , где она будет находиться в состоянии покоя. Заметим, что введенная в
рассмотрение функция ),(
x
x
W
&
есть не что иное, как полная механическая
энергия материальной точки.
Итак, положение минимума функции )(
x
f
можно найти, решая
дифференциальное уравнение (3.9). При этом от реального физического
времени
t в уравнении целесообразно перейти к безразмерному времени
t
0
ω
τ
= , используя для нормировки частоту колебаний около положения
равновесия
)(
0 ∗
′′
= xfg
ω
. После нормировки времени уравнение (3.9)
примет вид
0
)(
)(1
2
2
=
′′
′
++
∗
xf
xf
d
dx
Q
d
xd
τ
τ
, (3.10)
где )2/(
0
δ
ω
=Q – добротность малых колебаний в окрестности точки
∗
x .
Для малых колебаний удается определить оптимальную величину
добротности, обеспечивающую наибольшую скорость установления
состояния равновесия в системе (3.10). В этом случае применима
аппроксимация
()
2
)(
2
1
)()(
∗∗∗
−
′′
+= xxxfxfxf ,
с учетом которой уравнение (3.10) становится линейным:
∗
=++ xx
d
dx
Q
d
xd
τ
τ
1
2
2
.
При начальных условиях 0)0(,)0(
0
== xxx
&
оно имеет решение
()
)exp()exp()(
2112
12
0
τλλτλλ
λλ
τ
−
−
−
+=
∗
∗
xx
xx . (3.11)
Здесь
1
4
1
2
1
2
1
−+−=
Q
Q
λ
и 1
4
1
2
1
2
2
−−−=
Q
Q
λ
– корни характе-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
