Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

58
Это выражение после приведения подобных членов и группировки слагае-
мых преобразуется в итерационную формулу
)()(
11 nnnnn
xfxxxx
′
+−+=
−+
µ
ν
(3.14)
с коэффициентами
τ
τ
µ
τ
τ
ν
∆+
∆
−=
∆+
∆−
=
−−
−
1
2
1
1
2
2
,
2
2
QQ
Q
.
На значения коэффициентов
ν
и
µ
помимо добротности Q влияет также
величина шага
τ
∆ . При выборе
τ
∆ следует учитывать, что очень малые
шаги в процессе установления приводят к слишком большому количеству
вычислений. С другой стороны, при большой величине шага численное
решение (3.14) дифференциального уравнения (3.12) может оказаться
слишком неточным или вообще неустойчивым. Фактически вопрос о
выборе величины шага должен самостоятельно решаться в каждом
конкретном случае.
Разностная аппроксимация уравнения (3.13) приводит к итерационной
формуле
)(
1 nnn
xfxx
′
+=
+
σ
с коэффициентом
τ
σ
∆−= Q ,
которая может рассматриваться как частный случай формулы (3.14).
Например, выбрав параметры Q и
τ
∆ так, что 0=
ν
, получим
2/
2
τσµ
∆−== .
Если при расчетах по методу (3.14) желательно не использовать
аналитического выражения для производной )(xf
′
, то ее можно вычислять
так же, как и в методе секущих (1.13). В таком случае вместо (3.14)
получим формулу
1
1
11
)()(
)(
−
−
−+
−
−
+−+=
nn
nn
nnnn
xx
xfxf
xxxx
µν
. (3.15)
Метод установления применим не только к задачам оптимизации, но и
к другим стационарным задачам, в частности, к решению нелинейных
уравнений 0)( =
x
f
. В этом случае можно минимизировать функцию
)()(
2
xfxF = , точка нулевого минимума которой совпадает с корнем
исходного уравнения. Итерационная формула при этом принимает вид
1
1
11
)()(
)(2)(
−
−
−+
−
−
+−+=
nn
nn
nnnnn
xx
xfxf
xfxxxx
µν
.
Завершая обсуждение метода установления отметим, что его
использование для решения задач одномерной оптимизации, возможно, не

Страницы